Применение метода наименьших квадратов (случай линейной зависимости).

Использование метода наименьших квадратов на фондовой бирже.

Метод наименьших квадратов.

Рассмотрим систему линейных уравнений (1) Предположим, что система (1) является результатом исследования, а вектор – результатом практических наблюдений. В каком случае можно утверждать, что фактические данные подтверждают теорию?

Случаи, когда удовлетворяет системе (1), то есть подтверждает теорию, встречаются редко. Будем считать, что не опровергает теорию, если является хотя бы примерным решением системы (1). В таком случае разность – является ошибкой системы. Ошибку S(x) всей системы (1) можно определить по крайней мере одним из трех способов:

1.

2.

3. .

Алгоритм поиска наименьшего значения функции , то есть наименьшей ошибки, является наиболее простым в первом случае, что объясняет популярность метода наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов широко используется при анализе статических данных для выявления функциональной зависимости между наблюдаемыми величинами, причем количество наблюдаемых величин не имеет принципиального значения.

Применение метода наименьших квадратов (случай линейной зависимости).

На практике часто возникает задача о наилучшем подборе эмпирических функций, позволяющих представить в аналитической форме данные статических наблюдений.

Рассмотрим случай, когда наблюдаются две величины x и y, между которыми предполагается наличие функциональной зависимости . Пусть многочлен имеет степень 1, то есть предполагается линейная зависимость между величинами x и y вида . Параметры a и b необходимо подобрать таким образом, чтобы прямая была расположена как можно ближе к точкам . Пусть – предполагаемое значение.

Если – отклонение экспериментальных точек от предполагаемой прямой, то …

Составим сумму квадратов отклонений .

Потребуем, чтобы эта сумма была наименьшей согласно необходимому условию существования экстремума функции двух переменных. Имеем .

С помощью последней системы, и, имея экспериментальные значения , можно вычислить a и b, что позволит устанавливать приближенную линейную зависимость . Для этого разделим обе части обоих уравнений на число наблюдений п. Получим

. Введём обозначения , тогда система примет вид , где ,

по формулам Крамера.

Пример 1. Пусть имеем данные о размерах покупок y и их розничной цене x

для некоторого товара. Составить уравнение спроса, пользуясь МНК.

Для удобства использования системы (1) составим таблицу:

Тогда , - уравнение спроса.