Статическая модель межотраслевого баланса – модель Леонтьева.

Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль с одной стороны, является производителем, а с другой – потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Возникает довольно непростая задача расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разного вида. Впервые эта проблема была сформулирована в виде математической модели в 1936 году в трудах известного американского экономиста В.В. Леонтьева, который попытался проанализировать причины экономической депрессии США 1929 – 1932 гг. Эта модель основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного исчисления.

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год).

Введем обозначения:

X_i – общий (валовой) объем продукции i -й отрасли (i= );

X_ij – объем продукции i -й отрасли, потребляемый j -й отраслью в процессе производства (i,j = );

Y_i – объем конечного продукта i -й отрасли для непроизводственного потребления (i = ).

Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовой выпуск i -й отрасли должен быть равным сумме объемов потребления в производственной и внепроизводственной сферах:

(i= ) (1)

Уравнения (1) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в (1), имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат (i,j = ), показывающие затраты продукции i -й отрасли на производство единицы продукции j -й отрасли. Можно считать, что в некотором промежутке времени коэффициенты будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, то есть (i,j = ), вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной. Соотношения баланса теперь примут вид , (i = ) (2). Обозначим

, , , где X – вектор валового выпуска, Y – вектор конечного продукта, A - матрица прямых затрат.

Систему (2) можно записать в матричной форме (3)

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Перепишем уравнение (3) в виде: (4). Если , то - решение уравнения (3). Матрица называется матрицей полных затрат, каждый элемент которой является величиной валового выпуска продукции i -й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j -й отрасли .

В соответствии с экономическим смыслом задачи значения при и .

Матрица называется продуктивной, если для любого вектора существует решение матричного уравнения (4).

Теорема (Критерий продуктивности матрицы).

Для того, чтобы матрица A была продуктивна, необходимо и достаточно, чтобы: 1) для любых ; 2) для любого ; 3)существует номер .

Пример.

В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, усл. ден. ед.

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится в 1,2 раза, а машиностроительной останется на прежнем уровне.

Решение.

Составим матрицу A прямых затрат , она имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности: 0,07+0,12=0,19<1; 0,14+0,10=0,24 .

Для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска .

Найдем матрицу полных затрат .

, , .

По условию вектор конечного продукта , тогда , то есть валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 314,56 усл. ед., а в машиностроительной – до 364,30 усл. ед..