Арифметическая модель многомерного евклидова пространства

Мы отмечали в п.2.3, §2, что аксиоматика Д. Гилберта не может быть обобщена для построения модели геометрии высоких размерностей в мыслимом многомерном евклидовом пространстве. Обратимся к схеме Г.Вейля, согласно которой строилось арифметическое пространство R³. На самом деле эта схема не зависит от размерности вспомогательного векторного пространства Еⁿ. При n=2 и n=3 она просто одна и та же и отличается набором координат. В случае «мыслимой» многомерной геометрии операция откладывания вектора (1) является формальным определением множества точек арифметического n-мерного евклидова пространства Rⁿ, а в остальном схема построения Rⁿ при n>3 такова же, как и при n£3 и состоит в реализации следующих трёх групп аксиом.

1.Группа аксиом векторного пространства. Эта группа включает восемь аксиом векторного пространства, сформулированных в п. 3.1 §3 и дополнительную девятую аксиому размерности, сформулированную в п. 3.2 §3. Эти аксиомы определяют арифметическую модель Еⁿ n-мерного векторного пространства, см. п. 3.3 §3.

2.Аксиомы скалярного произведения.

Сюда входят три аксиомы 1) - 3) в формуле (5), приведенные в виде свойств в п.3.4 §3.

3. Аксиомы откладывания векторов.

Эта группа аксиом состоит из трех свойств операции откладывания векторов, определенной в начале этого параграфа.

Вывод 3.

Система аксиом Г. Вейля определяет абстрактное n-мерное арифметическое евклидово пространство Rⁿ, в котором основные геометрические объекты – точки, прямые, плоскости размерности 2, 3,..., n-1 - задаются системами алгебраических уравнений. При n>3 отсутствует «геометрическая модель» евклидова пространства, отождествляемая с реальными объектами.Например объектами четырёхмерного арифметического пространства R⁴ являются лишь мыслимые объекты, представляемые арифметической моделью и «несущие геометрические свойства» по аналогии с R³. Именно поэтому для определения координат точек «мыслимого» многомерного евклидова пространства требуется аксиома 3 - существования хотя бы одной точки O, для которой определена операция откладывания векторов из E⁴ и которая считается началом координат в R⁴: O (0,0,0,0)ÎR⁴.

Замечание о схеме Г.Вейля.

Способ построения декартовой системы координат на плоскости и в пространстве известен всем из школьного курса математики. Этот способ состоит из изображения трёх взаимно перпендикулярных числовых осей OX, OY, OZ пересекающихся в общей точке О, которая является началом координат. Координатами точки М евклидова пространства считается упорядоченная тройка чисел (x, y, z), которая получается в результате ортогональной проекции точки М на координатные оси. Такой способ построения координат опирается на наше визуальное представление и не может быть использован для построения арифметической модели многомерного пространства. Гениальность схемы Г.Вейля заключается в том, что операцию построения координат в двухмерном и трёхмерном случаях он представил как интеллектуальную операцию и эту операцию он реализовал тремя аксиомами откладывания вектора. Эти три аксиомы не зависят от размерности векторного пространства и с использованием структуры векторного пространства и скалярного произведения позволяют построить многомерную координатную модель евклидова пространства.

Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии по Вейлю - наиболее распространенная схема построения арифметической модели Rⁿ, применяемой в задачах линейного программирования, исследования операций и других задачах физики, математики, информатики и естествознания.

4.3. Вопросы и задания к теме «Модель Вейля евклидовой геометрии»

Вопросы.

 

1.Какие аксиомы позволяют вычислять длины отрезков и углы в многомерной геометрии?

2. Чем отличается аксиоматика Вейля трёхмерного евклидова пространства от многомерного?

3. Как задаются точки в модели Вейля? Как задаются координатные плоскости?

4. Как задаются плоскости в модели Вейля?

 

Задания.

1. Сформулируйте аксиоматику Вейля многомерной евклидовой геометрии.

2. Дайте геометрическую интерпретацию аксиомам Вейля 1 – 3.

3. Задайте следующие геометрические объекты в модели Вейля:

- шар и сфера в трёхмерном пространстве;

- шар и сфера в многомерном пространстве.

4. Постройте примеры других геометрических объектов.