Перпендикуляр к стороне угла.

B¥

A¥

M’

M”

M

O

Рис. 5.6

Для любого угла, образованного пересечением прямых ОА_¥ и ОВ_¥, рис. 5, на любой из его сторон (например, на стороне ОА_¥) существует такая точка М, что перпендикуляр, восстановленный к ОА_¥ из точки М, будет параллелен второй стороне угла OB_¥, рис. 5.6: MB_¥^OA_¥, и MB_¥||OB_¥. При этом, всякий перпендикуляр, выходящий из точки М’ÎОМ, пересекает противоположную сторону угла ОВ_¥, а всякий перпендикуляр, восстановленный из точки M"ÎMA_¥, не имеет общих точек со стороной OB_¥, рис. 5.

Четвертый признак конгруэнтности треугольников.

В абсолютной геометрии без привлечения аксиомы параллельности доказываются три признака конгруэнтности треугольников. В планиметрии Лобачевского справедлив еще один, четвертый признак. Если три угла одного треугольника конгруэнтны соответствующим трем углам второго треугольника, то эти треугольники конгруэнтны, [ ].

Вывод 2.

Рассмотренные выше неевклидовы факты 1-4, выражающие необычные для евклидовой геометрии отношения между прямыми на плоскости Лобачевского, являются логическим следствием 15 аксиом планиметрии Лобачевского. Эти свойства реализуются в модели Пуанкаре L₂, в евклидовой плоскости эти факты не имеют места.

Научная значимость открытия геометрии Лобачевского.

Открытие мыслимой неевклидовой геометрии Лобачевского задолго до построения ее реализаций и последовавшие затем открытия ее реализаций Гауссом, Клейном, Бельтрами и Пуанкаре явились прологом пересмотра многих устоявшихся фундаментальных понятий в теории познания, и в построении математических дедуктивных теорий. После построения геометрии Лобачевского начали подвергаться анализу идеи и методы доказательства в классической математике и математической логике. Это привело к рождению теории множеств и развитию дедуктивных схем построения теорий в математике на новом структурном уровне. Новые геометрические идеи формирования математических языков подняли научный уровень теоретической физики, а затем и всего естествознания. Одним из итогов открытия геометрии Лобачевского является то, что в современной науке понятие реализации или модели некоторой системы аксиом используется для проверки основных требований, предъявляемых к аксиоматическому методу в моделировании реальных процессов в различных задачах человеческой практики.

Вывод 3.

Открытие и построение неевклидовой геометрии предшествовало, а затем и сопутствовало развитию современных математических языков. Роль математического моделирования в современной науке не сводится только к формированию математического аппарата. Многие законы, открытые в теории математического моделирования, т.е. в математических языках, моделируют интеллектуальную деятельность вообще и исследовательскую деятельность в частности.

Формирование математических текстов на основе дедуктивного метода, т.е. построение теории на базе системы аксиом, должно удовлетворять некоторым законам - свойствам аксиоматических систем. К изучению этих законов мы приступаем в следующей главе.

 

 

5.4 Вопросы и задания к теме «Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского»

Вопросы.

1.Как формулируется аксиома параллельности в планиметрии Лобачевского?

2.Почему три признака равенства треугольников планиметрии Евклида выполняются и в планиметрии Лобачевского?

3.Может ли факт, доказанный в абсолютной планиметрии бать верным в планиметрии Лобачевского и неверным в планиметрии Евклида? Быть верным в планиметрии Евклида и неверным в планиметрии Лобачевского?

4. Изобразите в модели Пуанкаре две не параллельные прямые, которые не пересекаются, три и большее количество таких прямых.

 

Задания.

 

1. Приведите примеры геометрических фактов справедливых в планиметрии Евклида и несправедливых в планиметрии Лобачевского.

2. Приведите примеры фактов справедливых в планиметрии Лобачевского и несправедливых в планиметрии Евклида.

3.Приведите примеры утверждений абсолютной планиметрии, и изобразите их как в планиметрии Евклида, так и в модели Пуанкаре планиметрии Лобачевского.

4. Изобразите многоугольник в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского.

Изобразите такой многоугольник, у которого сумма всех углов достаточно мала.

 

“Лучший метод для предвидения будущего развития математических наук заключается в изучении истории и нынешнего состояния этих наук”

Анри Пуанкаре.

ГЛАВА II