Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду.

28¹. Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства.

Пусть – линейный оператор в -мерном линейном пространстве , определяемый матрицей порядка .

Собственным вектором данного линейного оператора (матрицы ) называется такой ненулевой вектор , который удовлетворяет
условию

, (1)

причем – действительное число, называемое собственным числом или собственным значением оператора (матрицы ), а называется собственным вектором.

Утверждение 1. Собственные векторы и собственные значения удовлетворяют следующим свойствам:

1) Собственный вектор линейного оператора имеет единственное собственное значение .

2) Если – собственный вектор линейного оператора с собственным значением и , то – также собственный вектор оператора с собственным значением .

3) Если и – линейно независимые собственные векторы линейного оператора с одним и тем же собственным значением , то – также собственный вектор этого оператора с собственным значением .

4) Если и – собственные векторы линейного оператора с различными собственными числами и (), то и – линейно независимы.

Преобразуем уравнение (1), определяющее собственные векторы и собственные числа линейного оператора А, к однородному уравнению.

Из (1) имеем . Поскольку , то отсюда получаем или

. (1’)

28². Характеристическое уравнение и многочлен матрицы.

Условие при котором система (1’) имеет нетривиальное решение, запишется в виде:

. (2)

Уравнение (2) называется характеристическим уравнением матрицы А, многочлен – характеристическим многочленом матрицы А, а его корни – характеристическими числами или собственными значениями матрицы А.

Совокупность всех характеристических чисел матрицы А называется ее спектром, причем каждое характеристическое число входит в спектр столько раз, какова его кратность в уравнении (2).

Если характеристическое уравнение (2) имеет лишь простые корни, то спектр матрицы А называется простым.

28³. Приведение матрицы к диагональному виду.

Рассмотрим линейное преобразование линейного пространства V с матрицей А.

Утверждение 1. Матрица А линейного преобразования имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда каждый базисный вектор является собственным вектором этой матрицы.

Матрица А называется приводимой к диагональному виду, если существует такая невырожденная матрица Т, что матрица .

Матрица Т составляется из собственных векторов матрицы А, записанных по столбцам.

Теорема 1. Матрица А линейного оператора n-мерного линейного пространства приводима к диагональному виду тогда и только тогда, когда существует базис В этого пространства, состоящий из собственных векторов матрицы А.

Очевидно, что для построения матрицы Т достаточно найти собственные векторы матрицы А.