Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции, теоремы Больцано-Коши о промежуточном значении.

Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке . Если же, кроме того, функция непрерывна в точке а справа, а в точке – слева, то функция называется непрерывной на отрезке .

Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех внутренних точках , за исключением конечного числа точек, в которых она имеет разрывы первого рода, а в точках а и имеет соответствующие односторонние пределы.

Монотонность и непрерывность. Будем считать, что функция задана на отрезке .

Утверждение 1. Монотонная на отрезке функция может иметь точки разрыва только первого рода.

Согласно этому утверждению, множество значений монотонной функции будет отрезком в том и только в том случае, если – непрерывная функция на отрезке .

Утверждение 2 (об устойчивости знака непрерывной функции). Пусть функция непрерывна в точке и . Тогда существует -окрестность точки , такая, что в этой окрестности функция имеет тот же знак, что и .

Геометрический смысл этого утверждения состоит в том, что, если функция непрерывна в точке и отлична в ней от нуля, то некоторая часть графика этой функции, проходящая через точку , не пересекает ось (рис. 1).

Теорема 1 (первая теорема Больцано-Коши). Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка , в которой .

Геометрический смысл этой теоремы также очевиден. Поскольку функция непрерывна на отрезке, то ее график состоит из одного «сплошного» куска. Эта кривая соединяет точки , , одна из которых лежит ниже оси Ox, вторая – выше оси Ox. Следовательно, существует точка с на оси Ox, в которой график пересекает ось Ox (рис. 2).

Теорема 2 (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть функция непрерывна на отрезке , причем . Тогда, если С – любое число, лежащее строго между и , то существует точка , такая, что .

Другими словами, непрерывная на отрезке функция принимает любое свое промежуточное значение.

Геометрический смысл этой теоремы показан на рис. 3.

Теорема 3 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена.

Таким образом, если функция непрерывна на отрезке , то существует число такое, что

Заметим, что если в теореме 3 вместо отрезка рассматривать интервал или какой-либо полуинтервал, то функция может быть и неограниченной, т. е. в этом случае утверждение об ограниченности несправедливо. Например, функция непрерывна на полуинтервале , но не ограничена на нем.

Теорема 4 (вторая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на отрезке функция достигает в некоторых точках отрезка своих точных верхней и нижней границ, т.е. существуют точки и , принадлежащие , для которых имеет место

, .

Таким образом, для всех .

Поскольку непрерывная на отрезке функция достигает в некоторых точках своих точных верхней и нижней границ, то можно называть точную верхнюю границу максимальным значением функции, а точную нижнюю границу – ее минимальным значением на отрезке .

41. Обратная функция и её непрерывность.

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Имеет место следующая

Теорема 1. Если функция непрерывна и монотонна на отрезке , то на множестве ее значений существует монотонная, непрерывная обратная функция.

Функции , обратные функциям , в силу названного свойства непрерывны при всех значениях , при которых эти функции определены.

Пример 1. Функция непрерывна и монотонна на отрезке . Образом этого отрезка, посредством функции , является отрезок . На основании приведенного свойства существует определенная на отрезке , обратная к функции , непрерывная возрастающая функция .

Для функции , рассматриваемой на всей действительной оси, не существует обратной функции, так как , , т.е. каждому соответствует множество значений , определяемых указанной формулой. □