Линейная зависимость и независимость векторов

 

Множество, включающее m ненулевых векторов из n-мерного векторного пространства, состоит из линейно независимых векторов тогда и только тогда, когда лишь при l_i = 0 (i = 1, 2,..., m) для .

Система векторов называется линейно зависимой, если существуют скаляры l_i, не все равны нулю, такие, что .

 

1.4.Базис n -мерного векторного пространства

 

Базисом (максимальной линейно независимой системой векторов) n -мерного пространства называется линейно независимое множество векторов через которые посредством линейных комбинаций может быть выражен любой вектор этого пространства.

 

Пример. Вектор может быть разложен единственным образом по векторам , , которые образуют базис пространства .

 

 

ТЕМА 2. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Матрицей размера m х n называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m строк и n столбцов:

.

Числа a_ij - называются матричными элементами матрицы A.

Примечание. Матрицу А_mxn можно представить в виде совокупности m вектор-строк или n вектор-столбцов, т.е.

.

Матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов, называется квадратной.

Квадратная матрица, имеющая единицу по главной диагонали и нули на всех остальных местах, является единичной и обозначается Е, т.е.

2.1. Действия с матрицами

 

Транспонирование матриц

Транспонированием матриц называется такое преобразование исходной матрицы, когда столбцы преобразуются в строки и наоборот - строки в столбцы: , где

 

Пример

Транспонируя матрицу , получим .

 

Сложение

Суммой двух матриц является третья матрица той же размерности, каждый элемент которой представляет сумму двух соответствующих элементов слагаемых матриц: ; .

 

Пример. Складывая матрицы

 

и получим .

Умножение матрицы на скаляр

 

Произведением матрицы на скаляр l является матрица

.

Каждый элемент матрицы А умножен на скаляр l.

Умножение матриц

 

Произведением матрицы А_mxn на матрицу B_nxr называется новая матрица С_mxr, каждый элемент которой представляет скалярное произведение соответствующей вектор-строки левой матрицы на вектор-столбец правого множителя:

,

где .

 

Пример

Рассмотрим произведение А_2x4 × B_4x3 = C_2x3 или

 

,

где C₁₁ = 14 представляет скалярное произведение вектор-строки (2; 3; 1; 0) на вектор-столбец (4; 2; 0; 1), т.е. и т.д.

 

Правило. Перемножать можно матрицы только в том случае, когда количество столбцов первой (левой) матрицы равно количеству строк второй (правой) матрицы.

Cвойства операции умножения матрицы.

а) A(B+C)=AB+AC

b) (A+B)C=AC+BC

c) C(AB)=(CA)B

d) .

 

Определителем 2-го порядка называется число, получаемое из элементов матрицы 2-го порядка, представленных в виде квадратной таблицы. Он равен разнице произведений чисел, расположенных по главной и побочной диагоналям:

,

где - элементы определителя;

- главная диагональ;

- побочная диагональ.

 

Определителем 3-го порядка называется число, которое можно найти по следующей формуле

Определитель третьего порядка, также можно найти по теореме Лапласа:

- это разложение по i-й строке. Чтобы вычислить алгебраическое дополнение А_i1 элемента а_i1, вычеркнем мысленно из матрицы, например, вторую (i = 2) строку и первый столбец, на пересечении которых стоит . Оставшемуся определителю второго порядка припишем знак (-1)²⁺¹:

Следующий элемент во второй строке а алгебраическое дополнение элемента будет .

 

 

Обратная матрица

Пусть А - квадратная матрица. Матрица B называется обратной для матрицы А, если произведение этих матриц равно единичной матрице, т.е. АB = BA=E.

Если определитель квадратной матрицы не равен нулю, то эта матрица имеет обратную и притом единственную.

 

Правило. Для вычисления обратной матрицы необходимо осуществить следующие операции:

1. Вычислить определитель исходной матрицы; если он не равен нулю, то обратная матрица существует.

2. Вычислить алгебраические дополнения элементов исходной матрицы: А_11, А_12,..., А_n1,... А_nn.

3. Составить из алгебраических дополнений матрицу

4. Транспонируя полученную матрицу, получить присоединенную .

5. Разделив присоединенную матрицу на определитель, получить обратную матрицу ,

6. Сделать проверку ∙ =E

 

Пример. Вычислить обратную матрицу для .

Проводим расчеты по пунктам, описанным выше:

 

1.

 

2.

, , ,

, , ,

, , .

 

3.

.

 

4.

.

 

5.

=-

 

 

.