Оценка среднего квадратического отклонения

Несмещенная оценка среднего квадратического отклонения .

Оценка средней квадратической погрешности среднего арифметического

Оценка среднеквадратической погрешности среднего арифметического вычисляется по формуле: .

При решении задач на вычисление оценок дисперсий расчеты удобно проводить в таблице.

Интервальные оценки

Интервальной оценкой называется множество точечных оценок, которое зависит от результатов наблюдений и, следовательно, является случайным. Интервальной называется оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Поэтому каждой интервальной оценке ставится в соответствие доверительная вероятность или надежность, с которой эта оценка накроет неизвестный параметр. В качестве надежности берут число близкое к единице.

Вероятность того, что интервал (Q*-d, Q*+d) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр Q, равна p: Р[Q*-d<Q< Q*+d]=p. Доверительным называется интервал (Q*-d, Q*+d), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью g.

Наиболее часто p равно 0,9; 0,95; 0,99; 0,999. При исследованиях в фармации, медицине и биологии доверительную вероятность принимают равной 0,95.

Нахождение доверительного интервала для оценки m нормального
распределения при неизвестном s. Распределение Стьюдента

Пусть случайная величина Х имеет нормальное распределение, причем s и m неизвестны. По данным выборки можно построить случайную величину Т (ее возможные значения обозначим через t): , где – выборочная средняя из n наблюдений; – оценка среднего квадратического отклонения выборочной средней (оценка среднеквадратической погрешности среднего арифметического вычисляется по формуле: )

Распределение Т с f=n-1 степенями свободы называется t-распределением или распределением Стьюдента. Функция плотности вероятности зависит от числа степеней свободы f и не зависит от дисперсии случайных величин s. Пользуясь распределением Стьюдента можно определить доверительный интервал, покрывающий неизвестный параметр μ с надежностью g .

Таким образом, интервальной оценкой математического ожидания является доверительный интервал .

Решение задач

1. Построить полигон относительных частот, если дискретный ряд распределения представлен в таблице:

хi
mi

 

Решение. Найдем объем выборки . Так как относительная частота , запишем в таблицу полученные значения:

хi
mi
p*	0,02	0,1	0,1	0,16	0,3	0,08	0,24	S=1

 

Проконтролируем результат, вычислив сумму полученного ряда (по определению ). Построим полигон относительных частот (рис. 9.3).

2. Результаты наблюдений за числом частиц, попавших в счетчик Гейгера в течение минуты, приведены в виде интервального ряда распределения:

Интервал Х	20-24	24-28	28-32	32-36	36-40	40-44	44-48	48-52
mi	1	4	20	10	8	4	2	1

Построить гистограмму частот распределения.

Решение.

Так как гистограмма это фигура, составленная из прямоугольников с основаниями Dх – длина частичного интервала и высотами , то запишем в таблице дополнительную строку . Величина интервала , тогда получим таблицу:

Интервал Х	20-24	24-28	28-32	32-36	36-40	40-44	44-48	48-52
mi	1	4	20	10	8	4	2	1
	0,25	1	5	2,5	2	1	0,5	0,25

Построим гистограмму (рис. 9.4)

Рис. 9.3

Рис. 9.4.

3. Найти оценку математического ожидания и несмещенную оценку дисперсии, если дана таблица распределения:

хi	2	4	5	6
mi	8	9	10	3

 

Решение. Для вычисления характеристик воспользуемся расчетной таблицей:

x	m	xm	xв-x	(xв-x)2	(xв-x)2m
			-1
			-2

 

Оценкой математического ожидания является выборочное среднее – среднее арифметическое значений статистического ряда: ; итак,

. Несмещенная оценка дисперсии генеральной совокупности:

;

 

4. Получена выборка значений случайной величины (длина вируса): 0,33; 0,34; 0,32; 0,33; 0,31 (нм). Найти оценку математического ожидания и оценку средней квадратической погрешности выборочного среднего.

Решение. Обратите внимание: другой вариант составления таблицы (без учета повторений)!

	xi
0,31	0,016	0,000256
0,32	0,006	0,000036
0,33	-0,004	0,000016
0,33	-0,004	0,000016
0,34	-0,014	0,000196
S	1,63		0,00052

 

Найдем среднее арифметическое: .

Найдем оценку средней квадратической погрешности среднего арифметического: ; (нм).

5. Известно, что количественный признак х генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=20 найдены выборочная средняя и несмещенная оценка дисперсии . Определить интервальную оценку математического ожидания с доверительной вероятностью р=0,95.

Решение. Доверительный интервал для математического ожидания, в который с вероятностью р попадает m имеет вид: .

Найдем оценку среднего квадратического отклонения выборочного среднего:

; . По таблице найдем коэффициент Стьюдента . По условию р=0,95, число степеней свободы . Итак, . Запишем:

;

.

 

Самостоятельная работа студентов на занятии

1. Найти оценку генеральной средней, несмещенную оценку дисперсии и исправленное среднее квадратическое отклонение по выборке: 289; 203; 243; 210; 251; 224; 220; 211; 246. (Указание. Для расчета использовать формулы без учета частот).

2. Время цветения 100 одинаковых растений (в сутках) даны в таблице:

 

Фазы цветения	Число цветущих растений (mi)
5-10
10-15
15-20
20-25
25-30
30-35
35-40

Построить гистограмму относительных частот распределения фазы цветения. Какой тип распределения напоминает гистограмма.

3. Дана выборка объема n. Найти объем выборки, оценки характеристик распределения, доверительный интервал с вероятностью 0,99, если статистические данные записаны в таблице:

хi	0,3	0,5	0,6	0,8	0,9
mi	6	10	20	3	1

4. В компьютерном классе средствами Excel построить гистограмму распределения для задачи 2, средствами MS Excel решить задачу 3.

 

Задание на дом

Практика

1. Из генеральной совокупности извлечена выборка:

хi	2	5	7	10
mi	6	12	8	2

Найти оценки характеристик распределения. Построить полигон частот.

2. Построить полигон частот и относительных частот по распределению выборки

хi	2	3	5	6
mi	10	15	5	20

3. Построить гистограмму относительных частот по распределению выборки

Интервал Х	10-15	15-20	20-25	25-30	30-35
mi	2	4	8	4	2

4. При подсчете количества листьев у одного из лекарственных растений были получены следующие данные: 8, 10, 7, 9, 11,6, 9, 8, 10, 7. Вычислить выборочную среднюю и оценку среднего квадратического отклонения выборочной средней, интервальную оценку с вероятностью 0,95.

Теория

1. Лекция по теме «Погрешности измерений и их оценки. Типы погрешностей. Погрешности прямых и косвенных измерений».

2. Занятие 10 данного методического пособия.

3. Павлушков И.В. и другие стр. 283-288.