Метод: первый замечательный предел.

~ ; ~

4-метод: 2-ой замечательный предел.

Если обозначить .

Пр. .

 

Производная и дифференциал функции. Правило дифференцирования.

Производной в точке наз-тся отношения приращения ф. к приращению аргумента если этот предел сущ-ет.

Геом. смысл производной: угловой коэф. касательной в точке = значению производной в этой точке.

О. Ф. наз-тся дифференцируемой в точке , если она имеет в этой точке конечную производную. Если ф. дифференцируема в каждой точке интервала , то она наз-тся дифференцируемой на .

Если ф. дифференцируема в т. , то , где –приращение ф., -приращение аргумента. А-число не зависящее от ; -бесконечно малое, при

Дифференциалом ф. в точке наз-тся линейная часть ур-ния

Дифференциалом независимой переменной наз-тся приращение этой переменной, т.е. . Т.о.

Т. Если ф. и диф. в т. , то их сумма, разность, произведение и частное также диф-мы в этой точке. Причем: , , .

Т.Если функция х=Р(t) имеет производную в т.t0,а функция у=f(x)имеет производную в соответствующей точке x0=P(t0),то сложная функция f(P(t))=имеет производную в т. t0

Производная 1-го порядка: функция

Производная второго порядка- производная от

Дифференциал –ного порядка

13)Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема Ферма.

ф-я определена на и в нек-рой точке этого интервала имеет наиб.или наим. значение, тогда если в этой точке определена производная, то она =0, т.е.

Если произв. в точке =0, будет ли в этой точке наиб.или наим. значение.

Док-во:

Пусть для определенности в т.х0 наибольшее значение,т.е. для любого х принадлежашего (а;b)

f(x) f(x0);f(x)-f(x0) 0следовательно дельта у 0,пусть дельта х больше 0(предел с права);предел при дельта х стремящемся к 0 (дельта у/дельта х) 0,если дельта х 0,то предел больше 0

 

Пр. в точке 0 производная =0.

Теорема Ролля.

Пусть на отрезке определена ф-я , причем:

ü непрерывна на

ü дифференцируема на

ü

Тогда сущ-ет точка , что

Док-во:

Т.к функция непрерывна на отрезке [a;b] то по 2 теореме Вейерштрасса она имеет на этом отрезке наибольшее значение М и наименьшее m,т.е. существуют такие точки x1и x2принадлежащие [a;b],что f(x1)=m,f(x2)=M и выполняется m f(x) M,для любого х принадлежащего отрезку.

1)m=Mтогда f(x)=const и f’(x)=0

2)m M,т.кf(a)=f(b),то хотя бы одно из значений наибоьшее или наименьшее достигается на интервале (a;b),т.е. существует т.С принадлежащая(a;b)в кот. Функция имеет наиб.илинаим. Значение т.к. функция дифериенцируема в тС

f’(C)=0,по теореме ферма..

 

Теорема Лагранжа.

Пусть на определена ф-я причем:

ü непрерывна на

ü диффер. на

Тогда сущ-ет точка С, принадлежащ. , такая, что

Док-во:
Введем в рассмотрение функцию F(x),для функции выполняется:1)F(x) не преывна на отрезке [a;b],как сумма не прерывных функции.2)F(x) ифференцируема на на интервале (a;b) как сумма дифференцируемых функции.3)F(a)=F(b)=0 следовательно существует такая т.С принадлежащая (a;b),что F’(C)=0,следовательно F’(C)=

Теорема Коши.

Пусть и непрерывны на и дифференцируемы на и пусть кроме того , тогда сущ-ет такая, что . Если в кач-ве взять ф-ю. = , то получим т. Лагранжа. Если т. Лагранжа положить , то получим т. Коши.

Теорема Лапиталля-Бернулли.

Пусть и определены и дифф. на содержащим точку за исключением быть может самой точки . Пусть предел при и на , тогда если сущ-ет конечный предел, при, то сущ-ет и причем они равны

14)Исследование поведения ф-и и построение её графика.

Признак ­ и ¯.

О. Ф-я на наз-тся: 1)постоянной, если , где для ;2)возрастающей, если для любых двух значений , таких что < вып-тсянер-во < ; 3)убывающей, если из < следует >

Достаточное условие ­ и ¯ функции.

Если в данном промежутке «+», то ф-я ­ в этом промежутке, если «-», то ф-я ¯. Если же на промежутке , то ф-я постоянна на этом промежутке.

Док-во:
Рассмотрим функцию у= f(x) на интервале(а;b) рассмотрим произвольные х1 и х2,такие что х1 ч2,по теоремк Лагранжа сущт.С принадлежащая(х1;х2),такая,что f(x2)- f(x1)=f’(c)(х2-х1);преположим,что производная на (а$b) положительна тогда f(x2)больше f(x1),соответственно если отриц.томеньше,если =0 то раны.В силу произвольности х1 и х2 функция fя вляетсяпостояннлй

Экстремумы ф-и.

Рассм. нек-рую ф-ю , определенную на . Пусть , d–нек-рое «+» число, d-окрестностью в точке будем наз-ть интервал и обозначать .

О. Если можно указать такую d–окрестность , принадлежащую , что для всех вып-тся > , то наз-ют максимумом ф-и и обозначают . Если же вып-тсянер-во, то минимумом –

и наз-ют экстремумом. Значение аргумента, при к-ром достигается экстремум, наз-ют точкой экстремума.

Т. (необходимое условие экстремума). В точке экстремума дифф. ф-и ее производная =0.

Если производная =0, то отсюда не следует, что -точка экстремума.

 

О. Точка, в к-рой производная =0 наз-тся стационарной. Точки, в к-рых произв. =0, а также точки, в к-рых производная не существует, либо =¥наз-ют критическими точками. Т.о. точки экстремума следует искать среди критических точек.

Т.(достаточное условие экстремума). Пусть ф-я дифференцируема в нек-рой окрестности . Если в точке производная=0 и меняет знак при переходе через , то –точка экстремума, причем: 1)если произв. меняет знак с – на + это точка минимума; 2)с + на – точка максимума.

Т.Если в точке 1-ая произв. дифф-мая. в нек-рой окрестности ф-и =0, а 2-ая произв. отлична от нуля, то явл. точкой экстремума. Причем - если >0, и - если <0.

Направление выпуклости и точки перегиба.

О. График наз-тсявыпуклым вниз в данном промежутке, если он целеком расположен выше касательной в его производной точке и выпуклым вверх-если расположен ниже касательной.

Т. Достаточный признак выпуклости графика ф-и.

Если ф-и –«+» в данном промежутке, то график ф. явл. выпуклым вниз в данном промежутке. Если же –«-«, то-выпуклым вверх.

О. Точка, в к-рой меняется направление выпуклости наз-тся точкой перегиба.

Т.(достаточный признак существования точки перегиба).

Если в точке =0 и меняет знак при переходе через нее, то –точка перегиба.для х в 4 н выполняется.

Асимптоты.

Если график ф-и сколь угодно близко приближается к прямой, то такую прямую наз-ют асимптотой.

О. Прямая наз-тся вертикальной асимптотой графика ф-и , если хотя бы одно из предельных значений стремится к ¥.

О.Предположим, что определена при сколь угодно больших по модулю значениях аргумента (будем рассм. «+» значения). Прямая наз-тся наклонной асимптотой графика ф-и , если эта ф-я представлена в виде , где –бесконечно малая, то ®0, при .

Т. (необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты). График ф-и имеет при наклонную асимптоту , если сущ-ют 2 конечных предела. и

Исследование ф-и и построение графика:

I. Найти область определения (Д)

II. обл. значений

III. четность и периодичность

IV. точки пересечения с осями координат

V. изучить поведение ф-и при стремлении аргумента к концам обл. определения.

VI. точки экстремума и промежутки ­ и ¯

VII. промежутки выпуклости ф-ий, точки перегиба

VIII. асимптоты графика

IX. построить график ф-и.

О. Ф-я наз-тся четной, если: 1) ; 2)

О. Ф-я наз-тсяпериодической, если сущ-ет такое Т>0, что 1)

2)

 

15)Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.