Частные производные 1-го порядка

Пусть задана ф-я , т.к. и – независимые переменные, то одна из них может меняться, а вторая оставаться неизменным. Придадим переменной приращение , а оставим неизменной, тогда получит приращение, к-рое наз-ют частным приращением и обозначают . Аналогично определетяется частное приращение по . .

Полное приращение наз-ют . Если существует предел , то он наз-тся частной производной ф-и в точке по переменной и обозначается

Частное производное по в точке обозначается . Аналогично определяется частная производная по . . Т.о. частная производная ф-и нескольких переменных определяется как производная ф-я одной переменной, считая остальные постоянными. Поэтому частные производные находят по ф-лам и правилам вычисления ф-и одной переменной.

Частные производные высших порядков.

Частные производные наз-ют частными производными первого порядка. Эти ф-и могут иметь частные производные, к-рыеназ-ют частными производными 2-го порядка.

; ; ;

Т. (теорема Шварца) Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся порядком дифференцирования равны между собой. В частности для ф-и двух переменных

Дифференцируемость. Полный дифференциал.

Пусть ф-я определена в нек-рой окрестности точки М с корд. .Напомним, что .

О. Ф-я наз-тся дифференцируемой в точке М , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде , где и при и .

18))Определенные интегралы.Опред. интеграл и его приложения.

О. Определенным интегралом от ф-и на наз-тся конечный предел её интегральной суммы, когда число элемент.отрезков неограниченно возрастает, а длина наиб. из них стремится к нулю. Обозначается:

Число a называется нижним пределом интегрирования, b- верхним пределом интегрирования, f(x)- подинтегральнойф-ей, х-переменной интегрирования.

По определению

(1)

след-но величина определенного интеграла не зависит от переменной интегрирования, т.е.

Ф-я, для к-рой существует предел (1) наз-тся интегрированием на .

Геом. смысл определенного интеграла состоит в том, что =Sкриволин. трапеции, ограниченной сверху графиком ф-и (f(x)≥0), снизу осью Ох, слева и справа- прямыми х=а и х=в. Св-ваопред. интеграла:

1.

2. при перестановке пределов интегрирования, знак определенного интеграла меняется на противоположный

3. если и интегрируемы на ф-и, тогда ± также интегрируемы. Причем

4. св-во аддитивности. Пусть разбит на элементарных отрезков след.образом , тогда

5. постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

6. если интегрируема на (a<b), причем f(x)≥0, тогда

7. пусть ф-и f(x) и g(x) интегрируемы на (a<b) и на всем отрезке f(x) ≤g(x). Тогда

8. пусть ф-я f(x) интегрируема на (a<b), тогда также интегрируема на , причем

Теорема. (об оценке опред. интеграла). Если ф-я интегрируема на (a<b) и для всех вып-тсянерав-во , тогда

Теорема. (о среднем значении) Если ф-я непрерывна на , то на этом отрезке существует точка с, такая что

Опред. интеграл с переменным верхним пределом(ОИПВП).

Рассм. ф-ю , интегрируемую на . Пусть , тогда интегрируема на любом отрезке .Предположим, что х меняется на этом отрезке, тогда определена ф-я Ф(х)= . Данную ф-ю называют ОИПВП.

1. ОИПВП явл. непрерывной на ф-ей

2. если явл. непрерывной, то производная с ОИПВП= значению подинтегральной ф-и для данного предела интегрирования, т.е.

3. ОИПВП явл. одной из первообр. для непр. подинтегральнойф-и.

Теорема.(ф-ла Ньютона-Лейбница). Пусть ф-я непрерывна на , тогда если ф-я F(x) явл. нек-рой её первообр. на , то справедлива след.ф-ла

Основные методы интегрирования:

Т. (о замене переменной в определенном интеграле). Пусть -непрерывна на ф-я, тогда если: 1)ф. дифференцируема на и –непрерывна на . 2)множ-вом значений ф-и явл. . 3) , . тогда справедлива ф-ла:

По ф-ле Ньютона-Лейбница, где - нек-рая первообразная на .

 

Т. (об интегрировании по частям) Если ф-и и непрерывны вместе со своими производными и на , то справедлива след.ф-ла:

Приложение определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Опред. интеграл отнеотриц. непр-ной на ф-и , ограниченной сверху графиком ф-и , снизу осью Ох, слева и справа прямыми

Длина дуги кривой.

Пусть плоская кривая задана уравнением , где -непрерывная на отрезке ф-я. Если производная также непрерывна на , то тогда