Принятие решения в условиях неопределенности.

Предположим, что ЛПР (Лицо, Принимающее Решения) рассматривает четыре возможных решения. Но ситуация на рынке не определенная, она может быть одна из четырех. С помощью экспертов ЛПР составляет матрицу последствий или доходов Q. Элемент этой матрицы q _i,jпоказывает доход, получаемый ЛПР, если им принято i-ое решение, а ситуация j -ая. В этой ситуации полной неопределенности могут быть высказаны лишь некоторые соображения и том, какое решение принять. Сначала матрицу рисков.

Строится эта матрица так: в каждом столбце матрицы находится максимальный элемент d _j, после чего элементы r _ij = d _j- q _ijи образует матрицу рисков, смысл рисков таков: если бы ЛПР знал, что в реальности имеет место j -ая ситуация, то выбрал бы решение с наибольшим доходом, но он не знает, поэтому, принимая i-ое решение он рискует недобрать d _j — q _i, _j– что и есть риск. Матрица R = r _ijназывается матрицей рисков.

Матрица доходов

 

Матрица рисков

 

Правило Вальда называют правилом крайнего пессимизма: ЛПР уверен, что какое бы решение он ни принял, ситуация сложится для него самая плохая, так, что принимая i-ое решение, он получит минимальный доход:

q_i =min q_ij: j=1,...,4., но теперь из чисел q_i ЛПР выбирает максимальное и принимает соответствующее решение.

По правилу Сэвиджа находят в каждой строке матрицы рисков максимальный элемент r_i и затем из чисел r_i находят минимальное и принимают соответствующее решение. Так принимает решение ЛПР, не любящий рисковать.

По правилу Гурвица для каждой строки матрицы доход находят величину

zi =a*max{q_ij: j=1,... 4}+(1-a)*min{q_ij: j=1,... 4}, потом находят из чисел z_i наибольшее и принимают соответствующее решение. Число а каждый ЛПР выбирает индивидуально – оно отображает его отношение к доходу и риску, при приближении а к 0 правило Гурвица приближается к правилу Вальда, при приближении к 1 – правилу розового оптимизма, а в нашем случае а равно 1/2.

Предположим, что ЛПР (Лицо, Принимающее Решения) рассматривает четыре возможных решения. Но ситуация на рынке не определенная, она может быть одна из четырех. Однако известны вероятности этих ситуаций p_j. Имея матрицу доходов Q теперь можно сказать, что доход от i -го решения есть с.в. Q_i с доходами q_ij и вероятностями этих доход p_j. Кроме того, риск i- го решения есть также с.в. R_i с рисками r_{i j} и вероятностями этих рисков p_j. Математическое ожидание с.в. Q_i и R_i называют также средним ожидаемым доходом и средним ожидаемым риском i- го решения. Теперь можно принять решение (провести операцию), у которого наибольший средний ожидаемый доход и наименьший средний ожидаемый риск.

 

 

Матрица доходов	Доход	Средний ожидаемый риск	Матрица рисков
вероятности ситуаций (x/xx)	вероятности ситуаций

 

Нанесем средние ожидаемые доходы Q и средние ожидаемые риски R на плоскость - доход откладываем по вертикали, а риски по горизонтали (см.рис.).

Q Q₂

Q₄

 

 

Q₁

 

Q₃

R

Получили 4 точки. Чем выше точка (Q,R), тем более доходная операция, чем точка правее - тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. Точка (Q',R’) доминирует точку {Q,R), если Q' ≥ Q и R' ≥ R и хотя бы одно из этих неравенств строгое. В нашем случае 2-я операция доминирует все остальные. Точка, не доминируемая никакой другой называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множеством оптимальности по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбрать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций, оптимальных по Парето. В нашем случае, множество Парето, т.е. оптимальных по Парето операций, состоит только из одной 3-й операции.

Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для пар (Q, R) дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула есть f(Q)=2Q - R. Тогда получаем: f(Q₁)= 3, f(Q₂)= 33, f(Q₃)= -12, f(Q₄)= 27. Видно, что 2-я операция — лучшая, а 3-я — худшая.

Иногда в условиях полной неопределенности применяют правило Лапласа равновозможности, когда все вероятности р_j считают равными.

 

Матрица доходов	Доход	Средний ожидаемый риск	Матрица рисков
вероятности ситуаций (x/xx)	вероятности ситуаций

 

Нанесем средние ожидаемые доходы Q и средние ожидаемые риски R на плоскость - доход откладываем по вертикали, а риски по горизонтали (см.рис.).

Q Q₄

Q₂

 

 

Q₁

 

 

Q₃

R

В нашем случае, множество Парето, т.е. оптимальных по Парето операций, состоит только из одной 3-й операции. f(Q₁)= -2, f(Q₂)= 25, f(Q₃)= -14, f(Q₄)= 26,5. Видно, что 4-я операция — лучшая, а 3-я — худшая.

После этого можно выбрать какое-нибудь из двух приведенных выше правил-рекомендаций принятия решений.

Для уточнения распределения вероятностей можно провести пробную операцию. После ее проведения вероятности состояний, характеристики операций и оптимальное решение могут стать совершенно иными.

В рамочках переменные первоначальной характеристики, жирным курсивом — после проведения пробной операции.

 

Первоначальные вероятности и характеристики операции
вероятности ситуаций	доход	средний ожидаемый риск	вероятности ситуаций
	до пробной операции
матрица доходов	матрица рисков
		25,2 6,6	10,8 29,4
0.1 0.0 0.0 0.9	после операции	0.1 0.0 0.0 0.9
вероятности ситуаций	вероятности ситуаций
Вероятности и характеристики операции после пробной операции