Геометрический смысл производной и дифференциала

1. Геометрический смысл производной

А

Пусть y = f (x) определена в и дифференцируема в некоторой внутренней точке . Пусть M₀(x ₀; y ₀) - некоторая точка графика функции, а М(х; у)- некоторая другая точка. Прямая М₀М называется секущей кривой y = f (x). Если оставить точку М₀ неподвижной, а точку М перемещать по кривой в направлении к М₀, то секущая будет поворачиваться вокруг М₀. При М М₀ она будет стремиться к некоторому предельному положению М₀Т.

Определение. Касательной к кривой называется предельное положение секущей М₀М, когда М М₀ по кривой.

D х = х-х ₀ .

Пусть секущая р, проходящая через точки М₀(х ₀; y ₀) и М(х ₀+D х; у ₀+D y) образует с положительным направлением оси О х угол . Из DМ₀АМ

, (1)

т.е. j = j (D x). Если D х 0, то М М₀ по графику функции, и D y 0. Следовательно, секущая будет поворачиваться, и угол j будет изменяться. Так как arctg x - непрерывная функция то

.

То есть существует правой части (1). Значит, существует и левой части, т.е. существует , и имеет место равенство . Следовательно, существует предельное положение угла j, которое обозначим через j ₀, т.е существует предельное положение М₀Т секущей М₀М при М М₀. Следовательно, М₀Т- касательная к графику у = f (x) в точке М₀ и

Û .

Геометрический смысл производной состоит в следующем: производная функции f (x) в точке х ₀ равна угловому коэффициенту касательной к кривой y = f (x) в точке (х ₀; f (x ₀)) (равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси О х)

Таким образом доказана

Теорема. Если функция f дифференцируема в точке х ₀ (существует конечная производная ), то график этой функции имеет касательную, угловой коэффициент которой равен .

Замечание. 1) Если =0, то касательная к кривой в точке х ₀ параллельна оси О х (tg =0 =0).

2) Если =¥ tg ₀=¥ , то касательная к графику перпендикулярна оси О х (функция не дифференцируема в точке х ₀, а касательная существует).

3) Может быть, что не существует, а касательная перпендикулярна оси О х.

Пример. - не дифференцируема в точке х =0. Прямая х =0 (ось О y) – касательная к графику в точке х ₀=0.

 

2. Геометрический смысл дифференциала

Из рисунка: из DМ₀АВ .

Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции y = f (x) в точке х ₀- это приращение ординаты точки касательной к графику функции в точке M₀(x ₀; y ₀), соответствующее приращению аргумента D х.

3. Уравнение касательной и нормали к графику функции y = f (x)

Известно, что всякая прямая не параллельная оси О у, проходящая через точку M₀(x ₀; y ₀), имеет уравнение .

Пусть f (x) дифференцируема в точке х ₀. Следовательно, график функции имеет в точке (x ₀; y ₀) касательную, угловой коэффициент которой . Тогда уравнение касательной имеет вид

.

Прямая, проходящая через точку M₀(x ₀; y ₀) и перпендикулярная к касательной, называется нормалью к графику функции f в точке M₀(x ₀; y ₀). Т.к. коэффициенты перпендикулярных прямых k ₁ и k ₂, связаны соотношением , то , , и, значит, уравнение нормали имеет вид

.