Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

I. Неопределенность .

Теорема 1. Пусть

1) f и g определены и дифференцируемы в , ;

2) g¢ (x)¹0 ;

3) ;

4) существует конечный или бесконечный .

Тогда существует , т. е. . (1)

Доказательство.

Т. к. f и g дифференцируемы в , то они непрерывны в , кроме, быть может самой точки x ₀. Но если положить и , то доопределенные таким образом функции f и g непрерывны в точке x ₀, т. е. в . Возьмем . Рассмотрим [ x ₀; x ], если x > x ₀ ([ x; x ₀], если x<x ₀). Этот отрезок принадлежит . Функции f и g на [ x ₀; x ] ([ x; x ₀]) удовлетворяют условиям теоремы Коши. Тогда по этой теореме

, где с Î[ x ₀; x ] (или с Î[ x; x ₀]).

Т. к. f (x ₀)= g (x ₀)=0, то . (2)

Пусть x ® x ₀, тогда т. к. с Î[ x ₀; x ] (или с Î[ x; x ₀]), то с ® x ₀. По условию 4) . Т. к. существует правой части равенства (2), то существует и левой части, равный k. Переходя в (2) к , получим (1).

Рассмотрим случай, когда .

Теорема 2. Пусть

1) f и g определены и дифференцируемы в ;

2) g¢ (x)¹0 ;

3) ;

4) существует конечный или бесконечный .

Тогда существует . (3)

Доказательство.

Используем теорему 1, применим замену . Положим , , .

1) Функции F и G определены и дифференцируемы в ,

, ;

2) G¢ (t)¹0 на ;

3) , ;

4) . (4)

Т. о., функции F и G удовлетворяют условиям теоремы 1. Тогда

. (5)

С другой стороны, . (6)

Из (4)-(6) следует (3).

Из теорем 1 и 2 следует правило Лопиталя раскрытия неопределенностей : предел отношения двух бесконечно малых функций при х ® х ₀ при выполнении условий 1)-4) теорем 1, 2 равен пределу при х ® х ₀ отношения производных этих функций.

Пример 1. D . D

Замечание 1. Если условие 4) теорем 1, 2 не выполнено, правило Лопиталя может не действовать: не существует, а может существовать.

Пример 2. D , х ₀=0.

Для этих функций в выполнены условия 1)-3) теоремы 1. Но не существует, т.к. не существует . Однако существует .D

Замечание 2. Если производные f¢ и g¢ в окрестности удовлетворяют тем же условиям, что и сами функции (условия 1)-4)), то правило Лопиталя можно применять повторно.

Пример 3.

D

. D

 

II. Неопределенность .

Теорема 3. Пусть

1) f и g определены и дифференцируемы в , ;

2) g¢ (x)¹0 ;

3) ;

4) существует конечный или бесконечный .

Тогда существует , т. е. .

Из теоремы 3 следует правило Лопиталя раскрытия неопределенностей : предел отношения двух бесконечно больших функций при х ® х ₀ при выполнении условий 1)-4) теоремы 3 равен пределу при х ® х ₀ отношения производных этих функций.

Остаются в силе замечания 1, 2.

Пример 4. D Пусть a >1.

а) ;

б) . D

Вывод. Показательная функция a^x (a >1) при растет быстрее, чем степенная xⁿ. Степенная функция xⁿ при растет быстрее, чем логарифмическая log _ax (a >1).

 

III. Неопределенности вида |0×¥|, |¥-¥| сводятся к неопределенностям вида или : , |¥-¥| - привести к общему знаменателю.

Пример 5. D . D

Пример 6. D

. D

IV. Неопределенности сводятся к |0×¥|, а она к или .

Пример 7. D ;

.

Следовательно, . D

Пример 8. D ;

Значит, . D

Замечание. Важно в случае многократного применения правила Лопиталя не забывать каждый раз проверять, раскрыта ли неопределенность, иначе можно допустить ошибку.

 

Формула Тейлора

 

Теорема. Пусть функция f (x) имеет в некоторой окрестности V (a) точки a производные до (n +1)-го порядка включительно. Пусть х – любая точка из V (a), p - произвольное положительное число. Тогда между точками а и х найдется такая точка с, что справедлива формула

, (1)

где , c Î(a;x) (или c Î(x;a)). (2)

Формула (1) называется формулой Тейлора с центром в точке а, R_n (x) - остаточный член формулы Тейлора в общей форме.

Доказательство.

Пусть j (x; a) - многочлен n - порядка относительно х правой части формулы (1), т. е.

.

В силу условия j (x; a) существует. Обозначим через R_n (x)= f (x) -j (x; a). Тогда формула (1) будет доказана, если будет установлено, что R_n (x) имеет вид (2). Зафиксируем . Пусть x > a (для x < a доказательство аналогично). На отрезке [ a; x ] рассмотрим вспомогательную функцию y (t):

, (3)

где , т. е. .

Покажем, что y (t) удовлетворяет условиям теоремы Ролля:

1) y (t) непрерывна на [ a; x ],

2) y (t) дифференцируема на (a; x),

3) ,

.

Значит, y (a)= y (x). Тогда на основании теоремы Ролля $ c Î(a; x): y ¢(с)=0. Дифференцируя (3), получим

.

Тогда $ c Î(a; x): . Следовательно,

. (4)

Тогда из (3), (4) следует

, c Î(a; x).

Пример.1. Найти разложение по формуле Тейлора многочлена n -й степени

, , .

D f^{n +1}(x)= P^{n +1}(x)=0 " . Тогда R_n (x)=0 " . Следовательно,

. D

 

Остаточный член формулы Тейлора в различных формах

Преобразуем формулу (2). Т. к. c Î(a; x), то существует такое число q, 0< q <1, что c = a + q (x-a) Þ x-c = x-a-q (x-a)=(x-a)(1 -q). Тогда

. (5)

Частные случаи.

1) p = n +1 Þ или

, 0< q <1. (6)

(6)– остаточный член в форме Лагранжа (наиболее употребительная форма).

2) p =1 Þ . (7)

(7) – остаточный член в форме Коши.

Замечание 1. В формулах (6) и (7) q, вообще говоря, различны, т. к. эти формулы получены из (2) при различных значениях р, а q зависит от р.

Замечание 2. В некоторых задачах важен лишь порядок R_n (x) относительно (x-a).

Из (6) Þ

Þ (8)

(8) - остаточный член в форме Пеано.

Замечание 3. С помощью формулы Тейлора можно производить приближенные вычисления f (x) с любой степенью точности: f (x)» j (x; a), погрешность равна R_n (x).

Замечание 4. Положим в (1) а = х ₀, х-х ₀=D х, х = х ₀+D х, f (x ₀+D x) -f (x ₀)=D f (x ₀)=D y.

Тогда . Формула Лагранжа D y = f (x) -f (x ₀)= f¢ (c)D x является частным случаем формулы Тейлора и получается из нее при n =0. Действительно, при n =0

, 0< q <1.

 

Формула Маклорена

Полагая в формулах (1), (6)-(8) а=0, получим

-

формула Маклорена;

- форма Лагранжа;

- форма Коши;

- форма Пеано.

 

Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

1. y = f (x)= e^x, .

, . При x =0 f (0)= f ^{( n )}(0)=1 Þ

,

где - форма Лагранжа;

- форма Коши;

- форма Пеано.

2. y = f (x)=sin x, .

,

Þ

,

.

3. y = f (x)=cos x, .

, Þ

,

.

4. y = f (x)=ln(1+ x), .

. Þ

,

.

5. y = f (x)=(1+ x) ^m, , .

, ,

,

.

6. Пусть в случае 5 m = n Þ . Тогда

,

Þ

- бином Ньютона.

7. Пусть в случае 5 m =-1 Þ

,

.

Положим здесь х = -х:

.