Уравнения прямой в отрезках по осям. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой.

ДОПИСАТЬ

Уравнения прямой в отрезках по осям. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой.

1 Уравнение прямой в отрезках -это уравнение вида:

где а и в величины направленных отрезков, отсекаемых соответственно на оси Ох и Оу.

Например: написать уравнение прямой отсекаемой на осях координат отрезки, величины которых соответственно равны 3 и -5.

х\3+у\-5=1

х\3-у\5=1

у

х

-5

 

2Если прямые заданы общими уравнениями

A₁x + B₁y + C₁ = 0

A₂x + B₂y + C₂ = 0

то угол φ между ними вычисляется по формуле:

(народ в знаменателе вместо б 1 квадрат нужно а 2 квадрат и вместо а 2 квадрат б 1 квадрат)

Или tg(w)=(А1В2-А2В1)\(А1А2+В1В2) –дробью

 

Условие перпендикулярности этих прямых имеет вид

А1А2+В1В2=0

Условие параллельности

А1\А2=В1\В2≠С1\С2

Пример:

1. Найти угол между двумя прямыми х+у-9=0 и х-6у+5=0

Тангенс фи=(1*(-6)-1*1)\(1*1+1*(-6))=7\5

Фи=арктангенс (7\5)

2. Доказать что прямые 3х-15у+16=0 и 6х-30у+13=0 параллельны

3\6=-15\-30≠16\13 следовательно параллельны

3. 30х+6у+6=0 и 6х-30у+13=0 доказать перпендикулярность

30*6+6*(-30)=0 следовательно перпендикулярны

Условия перпендикулярности и параллельности соблюдаются, т к тождества верны

3 Расстояние точки A(x1, y1) до прямой Ax + By + C = 0:

Пример:

Точка М (-2,-3) и уравнение 8х+5у+27=0

Д=(l8*(-2)+5*(-3)+27l)\корень 8 в квадрате+5 в квадрате=l-4l\корень 89=4\корень 89

 

Комплексные числа. Алгебраическое тригонометрическое и показательное формы комплексных чисел

Показательная форма комплексного числа

Формулой Эйлера связаны и : .

Поэтому от тригонометрической формы комплексного числа можно перейти к показательной форме

. (1.7)

 

Тогда

Складывая и вычитая, легко получить

 

. (1.8)

 

Пример 1.5. Записать числа из примера 4 в показательной форме.

Решение.

а) ;

б) ;

в) .

 

Операции над комплексными числами в тригонометрической форме

Пусть

,

тогда

; (1.13)

. (1.14)

Пример 1.10. Дано: и . Найти произведение .

Решение. , ;

, ;

Формула Муавра: .

 

; (1.15)

 

; (1.16)

 

имеет позиций в области комплексных чисел.

Из формулы (1.16) видно, что все различных значений величины имеют один и тот же модуль, равный . А так как , то точки, соответствующие значениям , являются вершинами правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса , с центром в начале координат.

 

Пример 1.11. Найти все значения комплексно числа .

Решение.

;

; .

Операции над комплексными числами в показательной форме.

Пусть и , тогда

; (1.17)

; (1.18)

; (1.19)

. (1.20)

Пример 1.12. Вычислить .

Решение.

; ;

 

Уравнения прямой проходящей через точку, уравнения прямой проходящей через 2 точки

1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A (x ₁, y ₁) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k,

y - y ₁ = k (x - x ₁).

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A (x ₁, y ₁), которая называется центром пучка.

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A (x ₁, y ₁) и B (x ₂, y ₂), записывается так:

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле

 

 

Условия перпендикулярности и параллельности соблюдаются, т к тождества верны

 

ДОПИСАТЬ

Уравнения прямой в отрезках по осям. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой.

1 Уравнение прямой в отрезках -это уравнение вида:

где а и в величины направленных отрезков, отсекаемых соответственно на оси Ох и Оу.

Например: написать уравнение прямой отсекаемой на осях координат отрезки, величины которых соответственно равны 3 и -5.

х\3+у\-5=1

х\3-у\5=1

у

х

-5

 

2Если прямые заданы общими уравнениями

A₁x + B₁y + C₁ = 0

A₂x + B₂y + C₂ = 0

то угол φ между ними вычисляется по формуле:

(народ в знаменателе вместо б 1 квадрат нужно а 2 квадрат и вместо а 2 квадрат б 1 квадрат)

Или tg(w)=(А1В2-А2В1)\(А1А2+В1В2) –дробью

 

Условие перпендикулярности этих прямых имеет вид

А1А2+В1В2=0

Условие параллельности

А1\А2=В1\В2≠С1\С2

Пример:

1. Найти угол между двумя прямыми х+у-9=0 и х-6у+5=0

Тангенс фи=(1*(-6)-1*1)\(1*1+1*(-6))=7\5

Фи=арктангенс (7\5)

2. Доказать что прямые 3х-15у+16=0 и 6х-30у+13=0 параллельны

3\6=-15\-30≠16\13 следовательно параллельны

3. 30х+6у+6=0 и 6х-30у+13=0 доказать перпендикулярность

30*6+6*(-30)=0 следовательно перпендикулярны