Операции над комплексными числами в алгебраической форме

Сложение и умножение комплексных чисел производится по правилам сложения и умножения алгебраических многочленов; учитывая при этом, что , и т. д.

1. Суммой двух комплексных чисел называется число такое, что справедливы равенства , , т. е.

 

. (1.9)

 

Обозначение: .

Правило сложения. При сложении комплексных чисел складываются действительные и мнимые части соответственно

 

Пример 1.6. Найти сумму чисел и , где , .

Решение. .

2. Разностью комплексных чисел называется число такое, что справедливы равенства , , т.е.

 

. (1.10)

 

Обозначение: .

Правило вычитания. При нахождении разности комплексных чисел из действительной и мнимой частей уменьшаемого вычитаются соответственно действительная и мнимая части вычитаемого.

 

Пример 1.7. Найти разность чисел и , где , .

Решение. .

3. Произведением чисел называется число такое, что справедливы равенства , . Обозначение: .

Нетрудно убедиться, что эти равенства имеют место, если произвести формальное перемножение выражений как двучленов:

 

_(1.11)

 

Правило умножения. Комплексные числа перемножаются как двучлены, при этом учитывается, что .

Пример 1.8. Найти произведение чисел и .

Решение.

.

 

Замечание. .

Результат замечания можно сформулировать как свойство: произведение сопряженных комплексных чисел – число действительное.

4. Частным от деления числа ( ) называется число , такое, что справедливо равенство . Обозначение: .

Правило деления. Чтобы разделитьчисло ( ), следует числитель и знаменатель дроби умножить на число , сопряженное знаменателю:

. (1.12)

 

Пример 1.9. Найти частное от деления числа на .

Решение.

.

 

Операции над комплексными числами в тригонометрической форме

Пусть

,

тогда

; (1.13)

. (1.14)

Пример 1.10. Дано: и . Найти произведение .

Решение. , ;

, ;

Формула Муавра: .

 

; (1.15)

 

; (1.16)

 

имеет позиций в области комплексных чисел.

Из формулы (1.16) видно, что все различных значений величины имеют один и тот же модуль, равный . А так как , то точки, соответствующие значениям , являются вершинами правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса , с центром в начале координат.

 

Пример 1.11. Найти все значения комплексно числа .

Решение.

;

; .

Операции над комплексными числами в показательной форме.

Пусть и , тогда

; (1.17)

; (1.18)

; (1.19)

. (1.20)

Пример 1.12. Вычислить .

Решение.

; ;

 

Уравнения прямой проходящей через точку, уравнения прямой проходящей через 2 точки

1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A (x ₁, y ₁) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k,

y - y ₁ = k (x - x ₁).

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A (x ₁, y ₁), которая называется центром пучка.

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A (x ₁, y ₁) и B (x ₂, y ₂), записывается так:

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле