Комплексные погонные характеристики линии (комплексные телеграфные уравнения)

При возбуждении отрезка линии источником гармонического напряжения или тока с частотой w установившиеся ток и напряжение его любого сечения изменяются также по гармоническому закону с тем же значением частоты w. В этом случае, как и в теории цепей с сосредоточенными элементами, все расчёты значительно упрощаются, если применить комплексный анализ. Согласно правилам комплексного анализа вещественным гармоническим функциям напряжения и тока можно однозначно поставить в соответствие комплексные экспоненциальные функции – комплексы мгновенных значений этих величин:

, ,

над которыми и совершаются последующие линейные вещественные математические операции. Здесь U = U (x¢) и I = I (x¢) – комплексные функции вещественного аргумента x¢, называемые комплексами действующих значений напряжения и тока в сечении линии с координатой x¢.

Мгновенные значения этих величин вычисляются известным образом:

, , (3)

либо

, ,(4)

в зависимости от вида вещественной гармонической функции времени, описывающей воздействие.

Рис. 2

Подставляя комплексы мгновенных значений напряжения и тока в систему телеграфных уравнений (2), получаем систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

, (5)

, (6)

представляющих собой комплексные погонные характеристики (комплексные телеграфные уравнения) однородной линии (Рис. 2). Введённые здесь обозначения и – это так называемые комплексные погонные параметры: продольное сопротивление и поперечная проводимость единицы длины однородной линии.

Преобразуем последнюю систему двух уравнений первого порядка к одному дифференциальному уравнению второго порядка относительно U = U (x¢) или I = I (x¢). Исключим, например, ток I = I (x¢). Дифференцируя первое уравнение и подставляя значение d I (x¢)/ dx¢ из второго, найдём:

(7)

Точно такое же уравнение можно получить и для I = I (x¢):

(8)

Введём комплексный параметр , называемый постоянной (коэффициентом) распространения и определяемый выражением

(9)

Для того, чтобы внести однозначность в определение g, условимся в дальнейшем выбирать то значение корня, которое располагается в первом квадранте плоскости комплексной переменной. Вещественная часть постоянной распространения называется коэффициентом затухания, а мнимая – коэффициентом фазы (волновым числом). Более детально смысл этих величин обсуждается ниже.

С введением постоянной распространения g комплексные телеграфные уравнения однородной линии примут вид:

и (10)

Уравнения такого вида в теории колебаний называют волновыми или уравнениями Гельмгольца.

Комплексные характеристики полубесконечного отрезка однородной линии