Определение граничных значений напряжения и тока отрезка линии

Общие решения уравнений Гельмгольца для конечного отрезка однородной линии, содержат по две постоянные интегрирования, значения которых пока не определены. Постоянные интегрирования представлены граничными значениями (при x = 0) различных величин: комплексами действующих значений напряжения U ₂и тока I ₂ (уравнения (32), (33) и (38), (39)), либо их составляющими U _п(0), U _о(0) или I _п(0), I _о(0) (соответственно уравнения (26) - (29)), либо, наконец, U _п(0)или I _п(0) и коэффициентом отражения r (системы уравнений (36), (37) и следующие за ними). Все эти граничные значения определяются однозначно только после включения отрезка линии в состав электрической цепи и выбираются такими, чтобы при x = 0 и x = l соблюдались граничные условия.

Рис. 10

Алгоритм определения граничных значений напряжения и тока или их составляющих рассмотрим на примере канонической схемы простейшей цепи с одним распределённым элементом (Рис. 10). Исходными являются комплексные характеристики участка конечного отрезка линии в какой-либо форме, дополненные граничными условиями для его начала и конца. Пример составления граничных условий рассмотрен в § 4.2, поэтому здесь они используются без вывода.

Выражения граничных условий для начала отрезка линии (x = l) при учёте его комплексных входных характеристик

и

Рис. 11 Рис. 12

позволяют записать две пары формул, определяющих искомые граничные значения I ₁ и U ₁:

которым отвечают две взаимодуальные эквивалентные схемы замещения (Рис. 11 и 12) автономного двухполюсника и нагруженного отрезка линии исходной схемы (Рис. 10).

В свою очередь выражения комплексных входных параметров отрезка линии Z (l) и Y (l) зависят от вида его комплексных характеристик и граничных условий на его конце (x = 0).

Если отрезок линии нагружен пассивной ветвью (Рис. 13, а), то искомые граничные условия таковы:

Рис. 13

, если , (40)

и

, если . (41)

В случае короткозамкнутого отрезка линии (Рис. 13, б) (формально можно положить ); для разомкнутого отрезка линии (Рис. 13, в) (формально считают ).

Возьмём, к примеру, представление комплексных характеристик отрезка линии в экспоненциальных функциях (36) и (37) при x = l. По определению

В соответствии с принципом дуальности

Чтобы найти выражение коэффициента отражения по напряжению через параметры нагрузки, воспользуемся граничными условиями на конце отрезка линии. Если отрезок нагружен пассивной ветвью (Рис. 13,а), то из (34) и соответствующих граничных условий и находим:

(42)

При Z _н = Z _c или Y _н = Y _c r = 0. Такая нагрузка однородного отрезка называется согласованной, а режим его работы – согласованным режимом. В этом режиме комплексные входные параметры отрезка принимают характеристические значения:

; .

Обратимся теперь к выражениям комплексных характеристик отрезка линии в гиперболических функциях (38) - (39) при x = l. По определению

С учётом равенств (40) - (41) получаем, в частности

В соответствии с принципом дуальности

Если затухание отрезка линии a l ³ 2,3 Нп, то значения его сопротивления Z (l) и проводимости Y (l) близки характеристическим значениям с удовлетворительной для практики точностью: Z (l)» Z _c(l), Y (l)» Y _c(l).

Полученные формулы позволяют вычислить комплексы действующих значений напряжения и тока в начале отрезка линии U ₁ = U (l) и I ₁ = I (l), а по ним найти значения постоянных интегрирования. Действительно, если взять, например, выражения комплексных характеристик участка конечного отрезка линии (36) - (37) и заменить в них аргумент x переменной l

,

,

то определить отсюда значения постоянных интегрирования U _п(0) и I _п(0) не составит труда. Также несложно вычислить значения постоянных интегрирования U ₂ и I ₂ из выражений комплексных характеристик участка в гиперболических функциях, если положить в них x = l и ввести граничные условия при пассивной произвольной нагрузке отрезка

,

.

Для схемы более сложной цепи с распределёнными элементами, содержащей несколько отрезков линий, применяют ряд эквивалентных преобразований, в результате которых она, в конце концов, приводится к простейшей схеме с одним распределённым элементом (Рис. 10). После определения значений напряжения и тока на его границах, от этой схемы переходят к предыдущей, и рассчитывают следующую пару граничных условий, и так далее вплоть до исходной схемы. Для получения граничных значений напряжения и тока очередного распределённого элемента используют условия непрерывности напряжения и/или тока в сечении его сопряжения с предшествующим отрезком линии.