Система линейных однородных уравнений

 

Если свободные члены системы (2.1) все равны нулю, то получится однородная система уравнений:

(2.3)

Ранг основной матрицы системы (2.3) и ранг ее расширенной матрицы всегда равны, следовательно, однородная система всегда совместна. Нулевое решение называемое тривиальным, является единственным, если В случае, когда система (2.3) имеет бесчисленное множество решений.

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение. Преобразуем матрицу системы:

Полученная матрица, равносильная матрице данной системы, такова, что ее ранг равен двум и число неизвестных n = 2 , значит система имеет единственное решение

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение. Составим матрицу системы и найдем ее ранг:

и .

Значит, т. к., например,

Итак, базисный минор тогда базисная переменная а
и – свободные. Следовательно, решение системы где – произвольные числа.

Если задать свободным переменным произвольные значения: где и то бесчисленное множество решений системы примет вид: где и

 

Собственные числа и собственные векторы матрицы

 

1. Всякий ненулевой вектор х называется собственным вектором матрицы А, если А х = l х, где l – некоторое число, называемое собственным значением (числом) матрицы

2. Если в некотором базисе вектор х и матрица А заданы:

и то равенству А х = l х будет эквивалентна следующая система:

(3.1)

Последняя однородная система относительно неизвестных l, m, n имеет всегда нулевое решение l = 0, m = 0, n = 0, т. е. х = 0, что нас не интересует. Ненулевое решение возможно тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т. е.

(*)

Последнее равенство называется характеристическим уравнением.

Каждый действительный корень l этого уравнения является собственным числом матрицы А. Координаты собственного вектора, соответ-ствующего каждому собственному числу, находят из системы уравне-
ний (3.1).

Замечание. Если х – собственный вектор матрицы А, то всякий, не равный нулю, коллинеарный ему вектор будет также собственным вектором матрицы А с тем же собственным числом.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Решение. Составим характеристическое уравнение (*):

и вычислим его корни:

Найденное собственное число l = –1 подставим в систему уравнений (3.1) и получим:

Решением последней системы являются числа:

где – собственный вектор данной матрицы.

 

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

 

Понятие функции

 

Если каждому элементу х из множества D по некоторому правилу (закону) ставится в соответствие элемент у другого множества Е, то говорят, что между элементами (переменными) х и у существует функциональная зависимость; при этом переменную величину х называют независимой переменной, или аргументом, а переменную величину у – зависимой переменной, или функцией.

Функциональную зависимость между независимой переменной х и зависимой у записывают так:

или более подробно .

При этом множество D называется областью определения (или областью существования) функции, а множество Е – областью значения функции. Если функция f может быть задана на множестве N натуральных чисел:

, то такая функция называется функцией натурального аргумента, или числовой последовательностью с общим членом .

Если функция зависит от двух, трех и более аргументов, то она записывается следующим образом: или

Буква f является символом правила, по которому значениям аргумента ставятся в соответствие значения функции. Если при каком-либо исследовании рассматриваются различные функции, то при их символической записи могут использоваться различные буквы:

Функция считается заданной, если указано правило для определения значения функции, соответствующего данному значению аргумента. Такое правило может быть представлено различными способами. Наиболее часто встречающимися из них являются: аналитический, графический и таб-личный.

 

Некоторые классы функций

 

● Четные и нечетные функции

Рис. 25, а	Рис. 25, б
Функция называется четной, если для всех х из области определения. График чет-ной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 25, а)	Функция называется нечет-ной, если для всех х из области определения. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 25, б)

 

Прочие функции не являются ни четными, ни нечетными, т. е. . Их графики не симметричны ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.

● Периодические функции

Функция называется периодической, если существует такое постоянное число , что в области определения функции. При этом наименьшее из таких чисел l называется периодом:

Так период функций и равен (рис. 26, а, 26, б). Период для функции и (рис. 26, в, 26, г).

● Монотонные функции

Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале (а, b), принадлежащем области существования этой функции, если боль-шему значению аргумента х из этого интервале соответствует большее (мень-шее) значение функции. Это значит, что для возрастающей функции при значениях имеем неравенство (рис. 27, а), а в случае убывания – неравенству соответствует неравенство (27, б).

 

 

Если функция опре-деленная на интервале, является только возрастающей или только убывающей на этом интервале, то она называется монотонной на интервале.

Рис. 27, в

Функция называется кусочно-монотонной на интервале

(а, b), если на этом интервале существуют такие точки и , что, например, на интервалах и функция возрастающая, а на интервале функция убывающая (рис. 27, в).

● Ограниченные функции

Функция , заданная на интервале (а, b), называется ограниченной на этом интервале, если существует такое число , что для всех х из данного интервала верно неравенство . Значит, график ограниченной функции лежит в полосе (рис. 28).

– М

В области определения неограниченной функции существуют такие х, что для любого числа М будет верно неравенство: . На-пример, тригонометрические функции и ограничены на всей области их существова-ния и число М для них равно 1: и .

Рис. 28

Неограниченными являются функции и .