Основные элементарные функции

 

1. Степенная функция: , где α – действительное число.

2. Показательная функция: , где .

Показательная функция называется экспонентной

3. Логарифмическая функция: , . Функцию записывают в виде и называют натуральным логарифмом числа х.

4. Тригонометрические функции:

, ,

5. Обратные тригонометрические функции:

, ,

 

Графики некоторых функций

 

 

Последовательности и их пределы

 

● Числовой последовательностью называется конечное или бесконечное множество чисел , расположенных в определенном порядке одно за другим. Числа, входящие в последовательность, называются ее членами. Среди членов последовательности могут быть и одинаковые числа. Последовательность считается заданной, если известен
закон (правило), по которому можно определить любой член последовательности. Этот закон является функцией натурального аргумента и записывается так: . Величина называется общим (n-ым) членом последовательности.

● Если для данной последовательности существует число А, к которому при увеличении n числа подходят как угодно близко, то такое число А называется пределом данной последовательности и обозначается .

Точная формулировка.

Число А называется пределом числовой последовательности , если,

задавая произвольное, как угодно малое положительное число e, можно указать в данной последовательности такое число , что все без исключения числа , где , будут по абсолютной величине отличаться от А меньше, чем на e: для любого .

Случай, когда предел не существует вследствие того, что при увеличении n неограниченно возрастает по абсолютной величине, обозначается следующим образом: (предел равен бесконечности).

 

Основные теоремы о пределах последовательностей

1. Последовательность может иметь только один предел.

2. Последовательность, имеющая конечный предел, ограниченная; последовательность, имеющая бесконечный предел, неограниченная.

3. Необходимый и достаточный признак существования предела последовательности. Для того, чтобы последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы при задании любого как угодно малого положительного числа можно было указать такой ее член , что любые два члена, стоящие после , будут отличаться друг от друга на число, меньшее , т. е.

при и .

 

Понятие предела функции

 

● Функция при имеет предел А: , если при приближении к соответствующие значения функции подходят как угодно близко к числу А. При значениях функция может не принимать значение А и вообще может быть не определена.

Точная формулировка. , если задав произвольное как угодно малое , можно указать такое число , что при любых значени-
ях х в промежутке (кроме, может быть, значения )
соответствующие значения будут находиться в промежутке , т. е. как только , так .

Признак Коши. Для того чтобы функция имела предел при , необходимо и достаточно, чтобы для любых двух значений аргумента и из области задания функции и достаточно близких к , соответствующие значения функции и были сколь угодно близки между собой. Из формулировки теоремы следует, что как только и так выполняется условие .

Основные теоремы о пределах

1) Предел постоянной величины С равен этой величине: .

2) Если и – числа, то

3)

4) если

5)

6) Монотонная ограниченная функция имеет конечный предел при

любом значении х.

7) Если и и ,

то .

Следствие. Чтобы вычислить предел, нужно заменить переменную величину ее предельным значением.

Примеры.

•

•