Геометрические задачи на нахождение оптимальных значений величин.

Задание. Из кружка жести радиуса R вырезается сектор и из оставшейся части круга делается коническая воронка. При какой величине угла вырезаемого сектора объём воронки будет наибольшим?

№ шага	План решения	Применение плана
1	Строим рабочий чертеж
	Записываем исходную формулу для вычисления величины, экстремальное значение которой требуется найти
	Вводим переменную величину х и выражаем через неё значения всех величин исходной формулы	Пусть х – величина центрального угла оставшегося сектора, тогда и , значит и . Высота воронки
	Подставляя найденные значения величин в формулу, представляем её как функцию аргумента х	,
	Задаем (по смыслу задачи) область определения функции	,
6	Функцию аргумента х исследуем на экстремум на найденном числовом промежутке	, , , ,
	Записываем ответ	Величина вырезаемого угла равна

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.

Вариант 1.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

2. Из квадратного листа жести со стороной 12 м надо изготовить бак с квадратным основанием без крышки наибольшего объема. Найдите размеры бака и его объем.

Вариант 2.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

2. Какой из прямоугольников с периметром 2p имеет наибольшую площадь?

Вариант 3.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

2. Разность двух чисел равна 8. Каковы должны быть эти числа. Чтобы произведение куба первого числа на второе было наименьшим?

Вариант 4.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

2. Для стоянки машин выделили площадку прямоугольной формы, примыкающую одной стороной к стене здания. Площадку обнесли с трех сторон металлической сеткой длиной 200 м. И площадь ее при этом оказалась наибольшей. Каковы размеры площадки?

Вариант 5.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

2. Из куска картона 32 см 20 см требуется изготовить открытую сверху коробку наибольшей вместимости, вырезая по углам квадраты и затем, загибая выступы для образования боковых сторон коробки. Найдите объем коробки.

Вариант 6.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

2. Требуется сделать коробку, объем которой должен равняться 108 см . Коробка открыта сверху и имеет квадратное дно. Каковы должны быть ее размеры, чтобы на ее изготовление пошло наименьшее количество материала?

Вариант 7.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

2. На странице книги печатный текст должен занимать (вместе с промежутками между строк)

160 см . Ширина полей на странице слева и справа должна быть равна 2 см, а сверху и снизу – 5 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

Вариант 8.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

2. Материальная точка совершает прямолинейное движение по закону , где t – время в секундах, s – путь в метрах. В какой момент времени t скорость движения точки будет наибольшей и какова величина этой наибольшей скорости?

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №5

«Свойства функций»

 

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Свойства функций».

2. Закрепить и систематизировать знания по теме.

3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

ОБОРУДОВАНИЕ: микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

а) Что называется функцией?

б) Что такое естественная область определения функции?

в) Какая функция называется четной, нечетной?

г) Как найти точки пересечения графика функции с осями координат?

 

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Вариант 1.

1. Найдите , если .

2. Найдите область определения функции .

3. Установите, является ли функция четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.

4. Найдите точки пересечения графика функции с осью ОУ и нули функции.

Вариант 2.

1. Найдите , если .

2. Найдите область определения функции .

3. Установите, является ли функция четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.

4. Найдите точки пересечения графика функции с осью ОУ и нули функции.

Вариант 3.

1. Найдите , если .

2. Найдите область определения функции .

3. Установите, является ли функция четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.

4. Найдите точки пересечения графика функции с осью ОУ и нули функции.

Вариант 4.

1. Найдите , если .

2. Найдите область определения функции .

3. Установите, является ли функция четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.

4. Найдите точки пересечения графика функции с осью ОУ и нули функции.

Вариант 5.

1. Найдите , если .

2. Найдите область определения функции .

3. Установите, является ли функция четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.

4. Найдите точки пересечения графика функции с осью ОУ и нули функции.

Вариант 6.

1. Найдите , если .

2. Найдите область определения функции .

3. Установите, является ли функция четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.

4. Найдите точки пересечения графика функции с осью ОУ и нули функции.

Вариант 7.

1. Найдите , если .

2. Найдите область определения функции .

3. Установите, является ли функция четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.

4. Найдите точки пересечения графика функции с осью ОУ и нули функции.

Вариант 8.

1. Найдите , если .

2. Найдите область определения функции .

3. Установите, является ли функция четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.

4. Найдите точки пересечения графика функции с осью ОУ и нули функции.

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №6

 

«Исследование функции и построение ее графика»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Исследование функции и построение ее графика».

2. Закрепить и систематизировать знания по теме.

3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

 

ОБОРУДОВАНИЕ: таблицы производных элементарных функций, микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

а) Какую точку называют критической (стационарной) точкой функции?

б) Сформулируйте признак возрастания (убывания) функции.

в) Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.

г) Опишите схему исследования функции.

2. С помощью обучающей таблицы повторить план исследования функции и изучить образцы решенных примеров.

3. Выполнить задания для самоконтроля (в таблице).

 

ОБУЧАЮЩАЯ ТАБЛИЦА

Задание. Исследуйте и постройте графики функции:

а) ;б) .

 

№	План исследования	Применение	плана
шага	Функции	а)	б)
	Находим область определения функции		, ,
	Исследуем функцию на четность, нечетность	функция ни четная, ни нечетная	функция четная
3	Находим нули (корни) функции и промежутки её знакопостоянства	, , , - нуль функции	, - нуль функции
	Находим производную функции и её критические точки	, - критические точки функции	- критическая точка функции
5	Находим промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции	х =0 – не является точкой экстремума, х =1 – точка минимума,	, х =0 – точка максимума,
	Находим предел функции при
7	Строим эскиз графика функции

Примеры. Исследуйте и постройте графики функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) .

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.

Вариант 1.

1. Исследуйте функцию на максимум и минимум.

2. Исследуйте с помощью производной функцию и постройте ее график.

Вариант 2.

1. Исследуйте функцию на максимум и минимум.

2. Исследуйте с помощью производной функцию и постройте ее график.

Вариант 3.

1. Исследуйте функцию на максимум и минимум.

2. Исследуйте с помощью производной функцию и постройте ее график.

Вариант 4.

1. Исследуйте функцию на максимум и минимум.

2. Исследуйте с помощью производной функцию и постройте ее график.

Вариант 5.

1. Исследуйте функцию на максимум и минимум.

2. Исследуйте с помощью производной функцию и постройте ее график.

Вариант 6.

1. Исследуйте функцию на максимум и минимум.

2. Исследуйте с помощью производной функцию и постройте ее график.

Вариант 7.

1. Исследуйте функцию на максимум и минимум.

2. Исследуйте с помощью производной функцию и постройте ее график.

Вариант 8.

1. Исследуйте функцию на максимум и минимум.

2. Исследуйте с помощью производной функцию и постройте ее график.

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №7