П.1. Теоремы сложения вероятностей

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р (А + В)= Р (А)+ Р (В).

Доказательство.

Докажем теорему для схемы случаев. Пусть всевозможные исходы опята сводятся к совокупности случаев, которые можно наглядно изобразить в виде n точек, из них m случаев благоприятствуют событию А, и k случаев благоприятствуют событию В. Тогда по определению вероятности , , так как А и В несовместны, то нет таких случаев, которые благоприятны А и В вместе. Следовательно, событию (А + В) благоприятны (m + k) случаев и . То есть + , что и треб. доказать.

 

Теорема 1^/ ( Обобщенная теорема сложения несовместных событий ) Вероятность суммы n несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Доказательство (методом математической индукции).

Предположим, что теорема справедлива для (n -1) несовместного события: А ₁, А ₂,…, А _n-1, т.е. справедливо равенство: Р (А ₁+ А ₂+…+ А_{n -1})= Р (А ₁)+ Р (А ₁₎ +…+ Р (А_{n -1}). Докажем, что теорема будет справедлива для n несовместных событий.

Обозначим А ₁+ А ₂+…+ А_{n -1} =С.

Имеем Р (А ₁+ А ₂+…+ А _n-1+ А_n) = Р (С + А_n) = (по теореме 1) = Р (С)+ Р (А_n) = (а для (n -1) несовместного события теорема доказана) = Р (А ₁+ А ₂+…+ А_{n -1}+ А_n)= Р (А ₁)+ Р (А ₁₎ +…+ Р (А_{n -1})+ Р (А_n).

(что и треб. доказать)

 

Следствие 1. Если события А ₁, А ₂,…, А _n-1, А_n образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице: .

Доказательство.

Т.к. события А ₁, А ₂,…, А _n-1, А_n образуют полную группу несовместных событий, то, по определению, появление хотя бы одного из них – достоверное событие:

= Р (А ₁+ А ₂+…+ А_{n -1}+ А_n) = 1.

Т.к. события несовместные, то к ним применима обобщенная теорема сложения:

Р (А ₁+ А ₂+…+ А_{n -1}+ А_n)= Р (А ₁)+ Р (А ₂) +…+ Р (А_{n -1})+ Р (А_n) = =1, (что и треб. доказать).

Следствие 2. С умма вероятностей противоположных событий равна единице:

Доказательство.

События – противоположные, т.е. по определению образуют полную группу несовместных событий, тогда по следствию 1, .

 

Замечание. Следствие 2 – частный случай следствия 1. на практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события, чем прямого.

В формулировке таких задач встречаются слова «хотя бы», «не менее», «по крайней мере» и др.

Пример. Из колоды карт (36) наудачу вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

Решение.

1 способ (по теореме ).

Событие А = {из 3 карт окажется хотя бы один туз}.

Хотя бы один – это либо один, либо два, либо три, т.е. событие А может быть представлено в виде суммы трех событий: А ₁ = {из 3 карт окажется один туз}, А ₂ = {из 3 карт окажется два туза}, А ₃ = {из 3 карт окажется три туза}.

А = А ₁+ А ₂+ А _3.

Т.к. события несовместны, то по теореме : Р (А) = Р (А ₁+ А ₂+ А ₃)= Р (А ₁)+ Р (А ₂) + Р (А ₃).

Найдем отдельно вероятности событий.

, , .

Р (А) + 0,0269 + 0,0006 = 0,3053.

 

2 способ (по следствию 2).

Событие = {из 3 вынутых карт не окажется ни одного туза}.

.

.

 

Теорема 2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения (совместного осуществления): Р (А + В)= Р (А)+ Р (В) – Р (АВ)

Доказательство (геометрическое)

 

События отождествляют с множествами. Два раза накладываем «лепесток» друг на друга, поэтому и отнимаем его. (что и треб. доказать)

 

 

Теорема 2 ^/ ( Обобщенная теорема сложения совместных событий).

Вероятность суммы n совместных событий равна , где суммы распространяются на различные значения индексов.

Для трех совместных событий теорема запишется в виде:

Р (А ₁+ А ₂+ А ₃)= Р (А ₁)+ Р (А ₂) + Р (А ₃) – Р (А ₁ А ₂) – Р (А ₁ А ₃) – Р (А ₂ А ₃) + Р (А ₁ А ₂ А ₃)

Доказательство для трех событий (геометрическое):

 

События отождествляют с множествами (см. рис.).

(что и треб. доказать)

 

Замечание. Аналогичную формулу можно написать для произведения совместных событий:

Р (АВ) = Р (А)+ Р (В) – Р (А + В)

Р (А ₁ А ₂ А ₃) = Р (А ₁)+ Р (А ₂) + Р (А ₃) – Р (А ₁+ А ₂) – Р (А ₁ + А ₃) – Р (А ₂ + А ₃) + Р (А ₁+ А ₂+ А ₃)

 

Пример. Для поражения самолета необходимо, чтобы были поражены оба двигателя (события А ₁ и А ₂) или была поражена кабина пилота (событие А ₃). Требуется выразить вероятность поражения самолета (событие А) через вероятности событий А ₁, А _2, А ₃.

Решение.

А = А ₁ А ₂+ А ₃. Т.к. события совместны, то по теореме 2 следует, что

Р (А) = Р (А ₁ А ₂)+ Р (А ₃) – Р (А ₁ А ₂ А ₃) = (по замечанию) = Р (А ₁)+ Р (А ₂) – Р (А ₁+ А ₂) – Р (А ₁) – Р (А ₂) – Р (А ₃) + Р (А ₁+ А ₂) + Р (А ₁ + А ₃) + Р (А ₂ + А ₃) – Р (А ₁+ А ₂+ А ₃) = – Р (А ₃) + Р (А ₁ + А ₃) + Р (А ₂ + А ₃) – Р (А ₁+ А ₂+ А ₃).