П. 3. Предельные теоремы в схеме Бернулли

1. Теорема Пуассона (асимптотическая формула для случая малых значений р)

 

Если вероятность наступления некоторого события А в n независимых испытаниях постоянна и равна р, причем при так, что , где – среднее число появления события А в n испытаниях, , то вероятность P_n (m) того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно m раз, удовлетворяет при соотношению (или приближенно равна):

P_n (m) = .

Замечания.

1. Часто формула Пуассона записывается в виде равенства, но надо помнить при этом, что оно верно при :

P_n (m) = , при этом .

2. Формулой пользуются при больших n и малых р. Например, при n > 100, .

3. Теорема имеет место и в том случае, когда вероятность события А в каждом испытании равна нулю. В этом случае = 0.

4. Существуют таблицы значений данной вероятности (стр. 410,411 в задачнике Ефимова – Демидовича).

 

Пример.

Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двумя и более пулями, если число выстрелов равно 5000.

Решение.

Считаем каждый выстрел за испытание и попадание в цель за событие. Количество испытаний n = 5000 (велико), р = 0,001 (мало). По формуле Бернулли считать сложно. Поэтому применим формулу Пуассона.

Найдем среднее число попаданий: . Найдем заданную вероятность:

(перейдем к противоположному событию: m < 2) = .

По точной формуле (формуле Бернулли) , т.е. ошибка невелика.

 

2. Локальная предельная теорема Муавра - Лапласа (асимптотическая формула для случая больших значений n и m)

 

Если вероятность наступления некоторого события А в n независимых испытаниях постоянна и равна р, (0 < p < 1), то вероятность P_n (m) того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно m раз, удовлетворяет при соотношению (или приближенно равна):

P_n (m) = ,

где , .

Замечания.

1. Часто формула Пуассона записывается в виде равенства, но надо помнить при этом, что оно верно при :

P_n (m) = .

2. Формулой пользуются при больших n и m. Например, при n > 100, .

3. Из того, что следует, что . Это означает, что n и m должны отличаться друг от друга не очень сильно. Например, для случая m = 0, теорема дает плохое приближение.

4. Существуют таблицы значений функции f (x) для положительных значений x (стр. 408 в задачнике Ефимова – Демидовича). Для отрицательных значений x используется та же таблица, так как f (x) – четная функция: f (– x) = f (x). Функцию f (x) называют плотностью нормального распределения.

 

Пример.

Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

Решение.

Количество испытаний n = 243, количество успехов m = 70, вероятность успеха р = 0,25, вероятность неудачи q = 1 – 0,25 = 0,75.

По формуле Бернулли считать сложно. Так как n и m велики, поэтому применим формулу Муавра - Лапласа.

Найдем сначала x и f (x):

, тогда .

Можно было не считать значение f (1,37) напрямую, а обратиться к таблице в учебнике.

Подставим найденное значение f (1,37) в формулу:

P ₂₄₃(70) = .

 

3. Предельная интегральная теорема Муавра - Лапласа (асимптотическая формула для случая, когда число успехов m лежит в некоторых пределах)

 

Теорема 1. Если m – число наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность этого события равна р (0 < p < 1), то равномерно относительно a и b () при имеет место соотношение:

.

 

В некоторых источниках или .

Ранее вывели, что . Численное значение нашего интеграла можно найти с помощью таблиц (стр. 406 в задачнике Ефимова – Демидовича) для функции Лапласа Ф (x):

, где Ф (– x) = 1 – Ф (x). Для тех значений x, которых нет в таблице, т.е для , Ф (x) = 1.

Либо, функция Лапласа может быть в виде: , где Ф (– x) = – Ф (x), для тех значений x, которых нет в таблице, т.е. для , Ф (x) = .

 

Теорема 2. (Теорема Муавра-Лапласа) Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < p < 1), событие А наступит не менее m ₁раза и не более m ₂раз приближенно равна:

,

где Ф (x) – функция Лапласа, значения , .