Интегрирование функции одной переменной

Интегрирование функции одной переменной

Основные понятия неопределенного интеграла

Неопределенным интегралом функции f(x) называется множество всех первообразных функций F(x) + C.

Записывается: .

Первообразной функцией для функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), производная которой равна f(x) на рассматриваемом промежутке, то есть .

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Имеет место теорема: две различные первообразные одной и той же функции, определенной в некотором промежутке, отличаются друг от друга в этом промежутке на некоторое постоянное слагаемое.

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [ a, b ], если:

1) она определена на этом множестве;

2) непрерывна в каждой точке этого отрезка, то есть справедливо равенство , где .

Теорема (условие существования неопределенного интеграла). Всякая непрерывная на отрезке [ a, b ] функция имеет на этом промежутке неопределенный интеграл.

Основные теоремы (свойства неопределенного интеграла):

1. где C-const.

2. .

3. .

4. где u, v, w – некоторые функции от х.

5.

6. (Инвариантность формулы интегрирования). Если , то и , где - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Ниже приводится таблица основных интегралов, которые используются при вычислениях неопределенных интегралов различных функций. Верность этой таблицы проверяется непосредственно дифференцированием.

Таблица 6.

Интеграл	Значение	Интеграл	Значение

Основные методы интегрирования

· Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования основан на применении табличных интегралов, и называется непосредственным интегрированием. При этом данный интеграл может быть приведен к табличному с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла.

Пример 1. Найти интегралы функций:

a)

b)

;

с) .

· Замена переменной

Этот метод интегрирования основан на введении новой переменной интегрирования. Приведем пример: пусть дана сложная функция f(x), где - функция имеющая непрерывную производную . Применяется свойство инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла, получаем: .

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Пример 2. Найти интегралы функций:

a) .

Решение.

;

b) .

Решение.

;

с) .

Решение.

= = ;

d) .

Решение.

= .

При интегрировании заменой переменной важно удачно сделать подстановку. Однако нельзя дать общее правило выбора замены переменной для интегрирования любой функции. Это можно сделать только для интегрирования отдельных классов функций: рациональных, тригонометрических и т.д. (интегрирование этих классов функций предложены в таблицах 3 – 7).

· Интегрирование по частям

Этот метод интегрирования основан на применении формулы дифференцирования произведения d(uv)=udv+vdu и вычислении затем интеграла . Из этого равенства получаем формулу интегрирования по частям: .

Пример 3. Найти интегралы функций:

a) .

Решение.

Интегрируется по частям: пусть ; тогда , . Следовательно, .

Еще раз интегрируется по частям: пусть тогда . Получаем,

;

b) .

Решение.

Интегрируется по частям: пусть ; тогда . Следовательно,

;

c) .

Решение.

Интегрируется по частям: пусть ; тогда , . Следовательно, .

Получившийся интеграл вычисляется методом замены переменной:

. Тогда

;

d) .

Решение.

.

е) .

Решение.

Интегрируется по частям: пусть ; тогда . Следовательно,

;

g) .

Решение.

Интегрируется по частям: пусть тогда . Следовательно, .

Еще раз интегрируется по частям: пусть тогда . Получается,

=

= .

Обозначается, . Тогда .

Следовательно,

 

Приведем в таблице 7 некоторые распространённые случаи использования метода интегрирования по частям.

Таблица 7.

вид интеграла	метод интегрирования
, , , .	За u принимается многочлен , а за dv все остальные подынтегральные выражения.
, , , , .	За dv принимается , а за u все остальные подынтегральные выражения.
, , , .	Данные бесконечные интегралы, решаются как уравнения, после двукратного интегрирования по частям.
, , a > 0.	За dv принимается dх, а за u остальные подынтегральные выражения.

 

Решение.

= ;

b) .

Решение.

;

c) .

Решение.

В таблице 8 приведены общие виды правильных рациональных дробей и способы их интегрирования с помощью замены переменной.

 

Таблица 8.

№	подынтегральное выражение	преобразования	замена	dx
I
II
III
IV				и раскладывается на сумму двух интегралов

m, n – натуральные числа (m ³ 2, n ³ 2) и D <0.

Подынтегральные выражения не вошедшие в таблицу 3 интегрируются с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Теорема (метод неопределенных коэффициентов). Если - правильная рациональная дробь, где знаменатель имеет вид:

P(x) = (x - a)^a…(x - b)^b(x² + px + q)^l…(x² + rx + s)^m ) (причем множители типа x²+px+q неразложимы на действительные множители первой степени), то эта дробь может быть разложена на сумму простейших дробей:

где A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i – некоторые постоянные величины.

Пример 5. Найти интегралы функций:

a) .

Решение.

= .

Подынтегральное выражение представляется в виде суммы простейших дробей .

После освобождения от знаменателей, получается:

.

Сгруппировываются члены с одинаковыми степенями:

В итоге получается:

b) .

Решение. Так как дробь неправильная, то выделяется целая часть:

6 x ⁵ – 8 x ⁴ – 25 x ³ + 20 x ² – 76 x – 7 3 x ³ – 4 x ² – 17 x + 6

6 x ⁵ – 8 x ⁴ – 34 x ³ + 12 x ² 2 x ² + 3

9 x ³ + 8 x ² – 76 x - 7

9 x ³ – 12 x ² – 51 x +18

20 x ² – 25 x – 25

Следовательно,

Для нахождения корней уравнения применяем схему Горнера:

коэффициенты перед x
решение			– 4	– 17
			– 2	–
– 2		– 1	–	–
1/3		–	–	–

Получаются: .

Следовательно, корни этого уравнения: 3; -2; 1/3.

Отсюда .

Получившееся подынтегральное выражение раскладывается на элементарные дроби:

.

Применяем метод произвольных значений, суть которого состоит в том, что в полученное выражение подставляем поочередно (по числу неопределенных коэффициентов) значения х. Для упрощения вычислений принимают точки, при которых знаменатель дроби равен нулю. В нашем случае: 3, -2, 1/3. Получаем: .

В итоге получаем:

=

Решение.

b) .

Решение.

.

 

· Метод замены переменной

Пример 7. Найти интегралы функций:

а) .

Решение.

в) .

Решение.

;

с) .

Решение.

Решение.

в) .

Решение.

;

с) .

Решение.

.

Интеграл вычисляется методом неопределенных коэффициентов:

.

.

Получается:

.

Учитывая выше сказанное, представим основные типы тригонометрических функций в виде таблицы 9.

Таблица 9.

№	подынтегральное выражение	замена
		Универсальная замена
		, ,
		Понижается степень по формуле

 

Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sin(x) и cos(x). Функции sec(x)=1/cos(x) и csc(x)=cosec(x)=1/sin(x).

Решение.

;

b) .

Решение.

.

 

с) .

Решение.

 

Таким образом, к первому типу можно отнести следующие подынтегральные выражения, представленные в таблице 10.

Таблица 10.

№	подынтегральное выражение	преобразования	замена	dx
			,
	, где

· Ко второму типу относят интегралы вида , где P_n(x) – многочлен п- ой степени. Интеграл находится методом неопределённых коэффициентов, с помощью тождества:

= ,

где Q_n-1(x) – многочлен степени равной п-1 с неопределёнными коэффициентами, λ – некоторый неопределённый коэффициент.

Пример 10. Найти интегралы функций:

а) .

Решение.

Здесь n = 3, поэтому соответствующее тождество имеет вид:

.

Продифференцируем полученное выражение:

.

Умножим на и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х:

=

=

.

Итого =

= ;

b) .

Решение.

Здесь n = 4, поэтому соответствующее тождество имеет вид:

.

Дифференцируем полученное выражение:

.

 

Перегруппировываем:

· К третьему типу относят интегралы вида .

Интегрируются с помощью тригонометрической подстановки, которая называется подстановкой Эйлера. При необходимости выделяют под радикалом полный квадрат, т.е. , и вводят обозначение: , .

Пример 11. Найти интегралы функций:

a) .

Решение.

;

 

b) .

Решение.

;

с) .

Решение.

 

Таким образом, введя новые обозначения имеем следующие подынтегральные выражения, которые будут иметь соответствующие тригонометрические подстановки, представленные в таблице 11.

№	подынтегральное выражение	замена	dt
		или	или
		или	или
		или	или

Таблица 11.

Основные понятия и методы решения определенного интеграла

Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная функция f(x). Разобьём отрезок [ a, b ] произвольным образом на п частей точками . На каждом отрезке длины выберем произвольную точку . Составим сумму , называемую интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [ a, b ].

Рис. 23

Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [ a, b ] называется число равное пределу интегральных сумм при стремлении к нулю максимальной из длин отрезков разбиения: , этот предел конечен и не зависит от способов разбиения отрезка [ a, b ] на части и выбора точек , на отрезках .

Определённый интеграл обозначается символом , где а называется нижним пределом, b называется верхним пределом, х называется переменной интегрирования, f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx называется подынтегральным выражением, [ a, b ] – отрезок интегрирования.

Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная функция . Фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу – осью Ox, сбоку прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией.

Геометрический смысл определённого интеграла: определённый интеграл равен площади «криволинейной трапеции» ограниченной функцией , осью О Y, и прямыми х=а и у=b.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то определённый интеграл существует.

Отметим, что если оставить постоянным нижний предел интегрирования а, а верхний х изменить так, что бы , то величина интеграла будет изменяться. Интеграл: , называется определённым интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела х.

Теорема (Связь между неопределённым интегралом и определённым интегралами). Всякая непрерывная на отрезке [ a, b ] функция имеет первообразную, равную интегралу , и тогда, согласно определению неопределённого интеграла, имеет место равенство .

Теорема (Ньютона – Лейбница). Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то – это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница [1].

Основные свойства определенного интеграла:

1. .

2. .

3. .

4. Если f(x) £ j(x) на отрезке [ a, b ] a < b, то .

5. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [ a, b ], то: .

6. Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка e такая, что .

7. Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство: , где равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.

8. .

9.

Решение.

.

Замена переменных

Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке . Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j(t).

1) j(a) = а, j(b) = b;

2) j(t) и j¢(t) непрерывны на отрезке [ a, b ];

3) f(j(t)) определена на отрезке [ a, b ], то .

Тогда .

Пример 13. .

Решение.

Интегрирование по частям

Формула имеет вид: .

Пример 14. .

Решение.

= = =

= = + =0.

Несобственные интегралы

Решение.

- не существует несобственный интеграл расходится.

б) .

Решение.

- интеграл сходится.

Объёмы тел вращения

Пусть кривая, задана уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [ a, b ]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

 

y = f (x)

, где V – объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции 0 £ y £ f(x), a £ x £ b вокруг оси О х.

 

Рис. 25

х=j (у)

, где V – объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции 0£ x £ j(y),

c £ y £ d вокруг оси ОУ.

 

Рис. 26

. Площади плоских фигур, длины дуг кривых, площадь поверхности тела вращения рассмотрим в таблице 12.

 

Таблица 12.

В прямоугольных координатах	В полярных координатах
y=f(x) на или x=φ(y)на