Интегрирование иррациональных функций

Выделяют три основных типа интегралов, содержащих иррациональные функции:

· Первый тип включает в себя интегралы, которые вычисляются методом замены переменной.

Пример 9. Найти интегралы функций:

a) .

Решение.

;

b) .

Решение.

.

 

с) .

Решение.

 

Таким образом, к первому типу можно отнести следующие подынтегральные выражения, представленные в таблице 10.

Таблица 10.

№	подынтегральное выражение	преобразования	замена	dx
			,
	, где

· Ко второму типу относят интегралы вида , где P_n(x) – многочлен п- ой степени. Интеграл находится методом неопределённых коэффициентов, с помощью тождества:

= ,

где Q_n-1(x) – многочлен степени равной п-1 с неопределёнными коэффициентами, λ – некоторый неопределённый коэффициент.

Пример 10. Найти интегралы функций:

а) .

Решение.

Здесь n = 3, поэтому соответствующее тождество имеет вид:

.

Продифференцируем полученное выражение:

.

Умножим на и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х:

=

=

.

Итого =

= ;

b) .

Решение.

Здесь n = 4, поэтому соответствующее тождество имеет вид:

.

Дифференцируем полученное выражение:

.

 

Перегруппировываем:

· К третьему типу относят интегралы вида .

Интегрируются с помощью тригонометрической подстановки, которая называется подстановкой Эйлера. При необходимости выделяют под радикалом полный квадрат, т.е. , и вводят обозначение: , .

Пример 11. Найти интегралы функций:

a) .

Решение.

;

 

b) .

Решение.

;

с) .

Решение.

 

Таким образом, введя новые обозначения имеем следующие подынтегральные выражения, которые будут иметь соответствующие тригонометрические подстановки, представленные в таблице 11.

№	подынтегральное выражение	замена	dt
		или	или
		или	или
		или	или

Таблица 11.

Основные понятия и методы решения определенного интеграла

Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная функция f(x). Разобьём отрезок [ a, b ] произвольным образом на п частей точками . На каждом отрезке длины выберем произвольную точку . Составим сумму , называемую интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [ a, b ].

Рис. 23

Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [ a, b ] называется число равное пределу интегральных сумм при стремлении к нулю максимальной из длин отрезков разбиения: , этот предел конечен и не зависит от способов разбиения отрезка [ a, b ] на части и выбора точек , на отрезках .

Определённый интеграл обозначается символом , где а называется нижним пределом, b называется верхним пределом, х называется переменной интегрирования, f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx называется подынтегральным выражением, [ a, b ] – отрезок интегрирования.

Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная функция . Фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу – осью Ox, сбоку прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией.

Геометрический смысл определённого интеграла: определённый интеграл равен площади «криволинейной трапеции» ограниченной функцией , осью О Y, и прямыми х=а и у=b.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то определённый интеграл существует.

Отметим, что если оставить постоянным нижний предел интегрирования а, а верхний х изменить так, что бы , то величина интеграла будет изменяться. Интеграл: , называется определённым интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела х.

Теорема (Связь между неопределённым интегралом и определённым интегралами). Всякая непрерывная на отрезке [ a, b ] функция имеет первообразную, равную интегралу , и тогда, согласно определению неопределённого интеграла, имеет место равенство .

Теорема (Ньютона – Лейбница). Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то – это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница [1].

Основные свойства определенного интеграла:

1. .

2. .

3. .

4. Если f(x) £ j(x) на отрезке [ a, b ] a < b, то .

5. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [ a, b ], то: .

6. Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка e такая, что .

7. Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство: , где равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.

8. .

9.