Обобщающие статистические показатели. Абсолютные и относительные величины.

Пример 1.

Из общей численности населения России, равной на конец 1985г. 143,8 млн. человек, 104,1 млн. составляли городские жители, 39,7 млн. — сельские. Рассчитав относительные величины структуры, можно определить удельные веса (или доли городских и сельских жителей) в общей численности населения страны, т.е. структуру населения по месту жительства:

городское — (104,1 / 143,8) *100 = 72,4:

сельское — (39,7 / 143,8) *100 = 27,6.

Спустя 6 лет, численность населения страны составила 148,7 млн., в том числе: городских жителей — 109,7 млн., сельских — 39,0 млн. Исходя из этих данных исчисляются показатели структуры населения:

городское — (109,7 / 148,7) *100 = 73,8:

сельское — (39,0 / 148,7) *100 = 26,2.

Сравнив состав населения страны в 1985г. и 1991г., можно сделать вывод о том, что происходит увеличение удельного веса городских жителей.

Пример 2.

Реализация хлопчатобумажных тканей секцией универмага составила в январе 3956 тыс. руб., в феврале — 4200 тыс. руб., в марте — 4700 тыс. руб.

Темпы роста:

базисные (база — уровень реализации в январе)

= 4200:3950*100 = 106,3%

= 4700:3950*100 = 118,9%

цепные

= 4200:3950*100 = 106,3%

= 4700:4200*100 = 111,9%

Пример 3.

По данным Всесоюзной переписи населения 1989г. численность населения Москвы составила 8967 тыс., а численность населения Санкт-Петербурга — 5020 тыс. человек.

Рассчитаем относительную величину сравнения, приняв за базу сравнения численность жителей Санкт-Петербурга: 8967 / 5020 = 1,79. Следовательно, численность населения Москвы в 1,79 раза больше, чем в Санкт-Петербурге.

Пример 4.

На начало года численность специалистов с высшим образованием, занятых в ассоциации “Торговый дом”, составила 53 человека, а численность специалистов со средним специальным образованием — 106 человек. Приняв за базу сравнения численность специалистов с высшим образованием, рассчитаем относительную величину координации: 106/53=2,0/1,0, т.е. на двух специалистов со средним специальным образованием приходится один специалист с высшим образованием.

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Имеются следующие данные о лабораторных испытаниях 1000 образцов пряжи на крепость

Крепость пряжи, г	Число образцов
до 180
180-200
200-220
220-240
240 и более

Средняя крепость пряжи составляет:

Ответ: 213,6.

Пример 1.

Имеются следующие данные о производстве рабочими продукции А за смену:

№ раб.
Выпущено изделий за смену

В данном примере варьирующий признак - выпуск продукции за смену.

Численные значения признака (16, 17 и т. д.) называют вариантами. Определим среднюю выработку продукции рабочими данной группы:

Простая средняя арифметическая применяется в случаях, когда имеются отдельные значения признака, т.е. данные не сгруппированы. Если данные представлены в виде рядов распределения или группировок, то средняя исчисляется иначе.

Пример 2.

Имеются следующие данные о заработной плате рабочих - сдельщиков:

Месячная з/п (варианта - х), руб.	Число рабочих, n	xn
х = 110	n = 2
х = 130	n = 6
х = 160	n = 16
х = 190	n = 12
х = 220	n = 14
ИТОГО

Вычислим среднюю заработную плату одного рабочего в руб.:

Пример 3.

Имеются следующие данные:

Группы рабочих по количеству произведенной продукции за смену, шт.	Число рабочих, n	Середина интервала, х	хn
3 — 5
5 — 7
7 — 9
9 — 11
11 — 13
ИТОГО

Исчислим среднюю выработку продукции одним рабочим за смену Исчисление средней по сгруппированным данным производится по формуле средней арифметической взвешенной:

Для первой группы дискретная величина х будет равна:

(3 + 5) / 2 = 4

Дальнейший расчет производится обычным методом определения средней арифметической взвешенной:

Итак, все рабочие произвели 750 шт. изделий за смену, а каждый в среднем произвел 7,5 шт.

Пример 5.

Определим средний процент выполнения плана по выпуску продукции по группе заводов на основании следующих данных:

 

Номер завода	Выпуск продукции по плану, млн.руб.	Выполнение плана, %
ИТОГО		—

 

или 102,4%

Пример 6.

Бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй - 15 мин., третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали.

На первый взгляд кажется, что задача легко решается по формуле средней арифметической простой:

Полученная средняя была бы правильной, если бы каждый рабочий сделал только по одной детали. Но в течение дня отдельными рабочими было изготовлено различное число деталей. Для определения числа деталей, изготовленных каждым рабочим, воспользуемся следующим соотношением:

Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время, необходимое для изготовления одной детали, равно:

Это же решение можно представить иначе:

Пример 7.

Издержки производства и себестоимость единицы продукции А по трем заводам характеризуются следующими данными:

Номер завода	Издержки производства, тыс.руб.	Себестоимость единицы продукции, руб.

 

Исчислим среднюю себестоимость изделия по трем заводам.

 

руб.

 

МОДА, МЕДИАНА.

Задача. Имеются данные о распределении 100 семей по количеству детей в семье:

Число детей	Количество семей
Итого

Мода равна 1.

Пример 8.

Распределение проданной обуви по размерам характеризуется следующими показателями:

размер обуви											и выше
число пар, в % к итогу	—										—

 

В этом ряду распределения мода равна 41. Именно этот размер обуви пользовался наибольшим спросом покупателей.

Пример 9.

Распределение предприятий по численности промышленно - производственного персонала характеризуется следующими данными:

Группы предприятий по числу работающих, чел	Число предприятий
100 — 200
200 — 300
300 — 400
400 — 500
500 — 600
600 — 700
700 — 800
ИТОГО

 

В этой задаче наибольшее число предприятий (30) имеет численность работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.

Введем следующие обозначения:

=400, =100, =30, =7, =19

Подставим эти значения в формулу моды и произведем вычисления:

чел.

Пример 10.

Определим медиану заработной платы рабочих.

Месячная з/п, руб.	Число рабочих	Сумма накопительных частот
		8 (2+6)
		24 (8+16)
		—
		—

 

Для определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание итога продолжается до получения накопленной суммы частот, превышающей половину. В нашем примере сумма частот составила ее половина - 20.

Накопленная сумма частот ряда получилась равной Варианта, соответствующая этой сумме, т.е. 160 руб., и есть медиана ряда.

Если же сумма накопленных частот против одной из вариант равна точно половине сумме частот, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.

Пример 11.

Месячная з/п, руб.	Число рабочих	Сумма накопительных частот
		8 (2+6)
		20 (8+12)
		—
		—

 

Медиана будет равна:

Ме = (150 + 170) / 2 = 160 руб.

Пример 12.

Группы предприятий по числу рабочих	Число предприятий	Сумма накопительных частот
100 — 200
200 — 300		4 (1+3)
300 — 400		11 (4+7)
400 — 500		41 (11+30)
500 — 600		—
600 — 700		—
700 — 800		—
ИТОГО

 

Определим прежде всего медианный интервал. В данной задаче сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (41), соответствует интервалу 400 - 500. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. Определим ее значение по приведенной выше формуле.

Известно, что:

Следовательно,

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

Пример 1.

Группы предприятий по объему товарооборота, млн.руб.	Число предприятий
90 — 100
100 — 110
110 — 120
120 — 130
ИТОГО

 

Определяем показатель размаха вариации:

R = 130 – 90 = 40 млн. руб.

Пример 2.

Табельный номер рабочего			/ /
		- 8
		- 7
Итого

 

d= =

Пример 3.

Произведено продукции одним рабочим, шт. ( варианта)	Число рабочих,
			-2
			-1
ИТОГО

Исчислим среднюю арифметическую взвешенную:

шт.

Значения отклонений от средней и их квадратов представлены в таблице 6.3. Определим дисперсию:

=1,48

Среднее квадратическое отклонение будет равно:

шт.

Пример 4.

Покажем расчет дисперсии для интервального ряда на данных о распределении посевной площади колхоза по урожайности пшеницы:

Урожайность пшеницы, ц/га	Посевная площадь, га
14 - 16				-3,4	11,56
16 - 18				-1,4	1,96
18 - 20				0,6	0,36
20 - 22				2,6	6,76
ИТОГО

 

Средняя арифметическая равна:

ц с 1га.

Исчислим дисперсию: