Понятие и различные формулировки теорем.

С точки зрения логики мышление характеризуется следующими формами: понятиями, суждениями и умозаключениями. Рассмотрим примеры каждой такой формы.

Понятия:

1. Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны.

2. Уравнением называется равенство, содержащее неизвестную переменную.

Суждения:

1. Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

2. Две прямые в пространстве либо пересекаются, либо скрещиваются, либо параллельны.

Умозаключения:

1. Если x=y, y=x, то x=z.

2. Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны.

Стоит отметить, что в рамках какого-либо математического курса чаще всего понятия выступают в роли определений, суждения являются аксиомами или теоремами, а умозаключения — теоремами. Остановимся на последних.

В школьном курсе математики для формулировки теоремы используются следующие формы суждения:

1. Категорическая.

a) Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

b) Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

2. Условная.

a) Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

b) Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

3. Разделительная

a) Две прямые в пространстве либо пересекаются, либо скрещиваются, либо параллельны.

b) Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в точке.

Теоремы категорической и разделительной форм можно переформулировать в условные теоремы, используя структуру «если..., то...». Тогда легко будет увидеть части, из которых состоит любая теорема:

1. Разъяснительная часть, где описывается множество объектов А, о которых идет речь в теореме;

2. Условие теоремы, т.е. некоторый предикат B(x), заданный на А;

3. Заключение теоремы, т.е. некоторый предикат C(x), заданный на А.

Тогда теорему можно записать в условном виде (∀x∈А)(B(x)⇒C(x)), причем теорем, которые представимы в таком виде, около 60% из всего школьного курса математики. Пример такой теоремы:

«Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны». В этом случае множеством А будет являться множество прямых, предикатом B(x) — параллельность двух прямых третьей, предикатом C(x)— параллельность двух данных прямых.

Часто используется такая терминология: тезис — доказываемое утверждение, аргументы — используемые в доказательстве уже известные утверждения, не противоречащие истинности тезиса, демонстрация — последовательность расположения аргументов и выводов, образующих цепь умозаключений.

Помимо теорем вида (∀x∈А)(B(x)⇒C(x)) в математике встречаются теоремы другого вида.

1. (∀ a, b)((a-b)² =a²-2ab+b²).

Эта теорема представима в виде (∀ a, b) A(a, b).

2. Через любую точку проходит прямая, перпендикулярная к данной прямой, и притом только одна.

Общий вид этой теоремы: (∀x∈А)(∃! y) (A(x, y)).

Существует еще более 10 различных структур теорем, остановимся на тех, которые связаны друг с другом:

1. (∀x∈А) (B(x)⇒C(x)) называется прямой теоремой;

2. (∀x∈А)(C(x)⇒B(x)) называется обратной теоремой;

3. (∀x∈А)(B(x)⇒C(x)) называется противоположной теоремой;

4. (∀x∈А)(C(x)⇒B(x)) называется теоремой, обратной противоположной.

Рассмотрим теорему, переформулируем ее во все четыре вида и проверим истинность.

1. Если четырехугольник — параллелограмм, то он выпуклый. (Истинно).

2. Если четырехугольник выпуклый, то он является параллелограммом. (Ложно).

3. Если четырехугольник не является параллелограммом, то он невыпуклый. (Ложно).

4. Если четырехугольник невыпуклый, то он не является параллелограммом. (Истинно).

Существуют теоремы, истинные во всех четырех формах:

1. Если четырехугольник — параллелограмм, то его диагонали, пересекаясь, делятся пополам. (Истинно).

2. Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. (Истинно).

3. Если четырехугольник не является параллелограммом, то его диагонали пересекаясь, не делятся пополам. (Истинно).

4. Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, не делятся пополам, то этот четырехугольник не является параллелограммом. (Истинно).

Эти четыре вида связаны следующим образом: прямая ⇔ обратная противоположной, обратная ⇔ противоположная. Эту связь необходимо демонстрировать учащимся, а также необходимо предлагать задания на переформулировку различных теорем.