Разложимости функции в ряд Фурье

Приведем достаточный признак сходимости ряда Фурье, т. е. сформулируем условия на заданную функцию, при выполнении которых построенный по ней ряд Фурье сходится, и выясним, как при этом ведет себя сумма этого ряда. Важно подчеркнуть, что хотя приведенный ниже класс кусочно-монотонных функций и является достаточно широким, функции, ряд Фурье для которых сходится, им не исчерпываются.

 

Функция называется кусочно-монотонной на отрезке , если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на интервалы на каждом из которых монотонна, т.е. либо не убывает, либо не возрастает (см. рис.1).

Примеры

1. Функция является кусочно-монотонной на интервале , так как этот интервал можно разбить на два интервала , на первом из которых она убывает (и значит, не возрастает), а на втором возрастает (и значит, не убывает).

2. Функция кусочно-монотонна на отрезке , так как этот отрезок можно разбить на два интервала

 

Теорема №3

Функция , кусочно-монотонная и ограниченная на отрезке , может иметь на нем только точки разрыва первого рода.

 

Доказательство

 

Пусть, например, точка разрыва функции Тогда в силу ограниченности функции и монотонности по обе стороны от точки с существуют конечные односторонние пределы

Это означает, что точка c есть точка разрыва первого рода (рис.2). Что и требовалось доказать.

 

Теорема №4

Если периодическая функция с периодом 2π кусочно-монотонна и ограничена на отрезке , то ее ряд Фурье сходится в каждой точке x этого отрезка, причем для суммы

Этого ряда выполняются равенства:

1.

2.

3.

Примеры

3. Функция периода , определенная на интервале равенством , удовлетворяет условиям теоремы. Поэтому её можно разложить в ряд Фурье. Находим для неё коэффициенты Фурье:

Ряд Фурье для такой функции имеет вид

4. Разложить функцию в ряд Фурье на интервале .

Данная функция удовлетворяет условиям теоремы 4. Найдем коэффициенты Фурье, используя свойство аддитивности определенного интеграла.

Следовательно, ряд Фурье имеет следующий вид:

На концах отрезка , т.е. в точках , которые являются точками разрыва первого рода, будем иметь .

Замечание. Если в найденном ряде Фурье положить , то получим

 

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Функция , определенная на отрезке , называется четной, если

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция , определенная на отрезке , называется нечетной, если

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Примеры

1. Функция является четной на отрезке , так как для всех

2. Функция является нечетной на отрезке , так как для всех

3. Функция , не принадлежит ни к четным, ни к нечетным функциям, так как

.

 

Пусть функция , удовлетворяющая условиям теоремы 1, является четной на отрезке . Тогда

т.е. является четной функцией, а - нечетной. Поэтому коэффициенты Фурье четной функции будут равны

Следовательно, ряд Фурье четной функции имеет вид

 

 

Если нечетная функция на отрезке , то произведение будет нечетной функцией, а произведение четной функцией. Поэтому будем иметь

Следовательно, ряд Фурье нечетной функции имеет вид

Примеры

1. Разложить в ряд Фурье на отрезке функцию

 

>>Решение <<

 

2. Разложить в ряд Фурье на интервале функцию .

 

>>Решение<<