Минимальное свойство коэффициентов Фурье.

Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля

Пусть ортонормированная система функций на отрезке

и пусть Обозначим через коэффициенты Фурье функции по ортонормированной системе :

 

 

Рассмотрим линейную комбинацию

(*)

где фиксированное целое число, и найдем значения постоянных при которых интеграл

принимает минимальное значение. Запишем его подробнее

(7)

Интегрируя почленно, в силу ортонормированности системы получим

 

Первые два слагаемых в первой части равенства (7) не зависят от , а третье слагаемое неотрицательно. Поэтому интеграл (*) принимает минимальное значение при . Интеграл

(8)

называют средним квадратичным приближением функции линейной комбинацией . Таким образом, среднее квадратичное приближение функции принимает минимальное значение, когда , т.е. когда есть -я частичная сумма ряда Фурье функции по системе : . Полагая , из (7) получаем

(9)

или

 

Равенство (9) называется тождеством Бесселя. Так как его левая часть неотрицательна, то из него следует неравенство Бесселя

(10)

Поскольку здесь произвольно, то неравенство Бесселя можно представить в усиленной форме

т.е. для всякой функции ряд из квадратов коэффициентов Фурье этой функции по ортонормированной системе сходится.

Так как система

 

(11)

ортонормирована на отрезке то неравенство (10) в переводе на привычную запись тригонометрического ряда Фурье дает соотношение

справедливое для любой функции с интегрируемым квадратом.

Если интегрируема, то в силу необходимого условия сходимости ряда в левой части неравенства (11) получаем, что .

 

Равенство Парсеваля

(12)

Для некоторых систем знак неравенства в формуле (10) может быть заменен (для всех функций ) знаком равенства. Получаем равенство

называется равенством Парсеваля-Стеклова (условием полноты).

Тождество Бесселя (9) позволяет записать условие (12) в равносильной форме

Тем самым выполнение условия полноты означает, что частичные суммы ряда Фурье функции сходятся к функции в среднем, т.е. по норме пространства .

Ортонормированная система называется полной в , если всякую функцию можно с любой точностью приблизить в среднем линейной комбинацией вида

с достаточно большим числом слагаемых, т.е. если для всякой функции и для любого найдется натуральное число и числа такие, что

Теорема №7

Если ортонормированная система полна в пространстве , то ряд Фурье всякой функции по этой системе сходится к в среднем, т.е. по норме .

Можно показать, что тригонометрическая система

полна в пространстве Отсюда следует утверждение.

Теорема №8

Если функция , то её тригонометрический ряд Фурье сходится к ней в среднем.