Обработка косвенных измерений

Теоретические сведения.

При косвенных измерениях значение искомой вели­чины получают на основании известной зависимости, связывающей ее с другими величинами, подвергаемыми прямым измерениям.

Методика обработки результатов косвенных измерений приведена в документе МИ 2083−90 «ГСИ. Измерения косвен­ные. Определение результатов измерений и оценивание их по­грешностей».

В общем случае косвенно измеряемая величина представляет собой некоторую функцию

, где j = 1,…, m, (3.1)

где х ₁, х ₂, …, х_j, …, х_m – значения, полученные при прямых измерениях, m – число измеряемых неизвестных величин.

Если величины х ₁, х ₂, …, х_m измерены n раз с погрешностью Δ х ₁, Δ х ₂, …, Δ х_j, …, Δ х_m, то искомая величина Z будет иметь погрешность, равную:

. (3.2)

Разложив правую часть уравнения в ряд Тейлора и, ограничившись членами 1-го порядка, получим:

. (3.3)

Каждая из величин х_j измерена с некоторой погрешностью ∆ х_j. Полагая, что погрешности ∆ х_j малы, можно заменить ∂ х_j на ∆ х_j:

(3.4)

Математическое ожидание М (∆ _Z) и дисперсия σ²(∆ _Z) погрешности ∆ _Z, если величины х_j измерены со случайными погрешностями ∆ _j, имеющими нулевые математические ожидания М (∆ х_j) = 0 и дисперсии , принимая во внимание (3.4) определяем по формуле:

; (3.5)

, (3.6)

где r_ij – коэффициенты корреляции погрешностей всех испытаний j и i, кроме i = j.

Если погрешности ∆ х_j некоррелированы (т.е. коэффициенты корреляции r_ij = 0), то согласно теореме о сложении дисперсий [1]:

. (3.7)

При ограниченном числе измерений (n ¹ ¥) оценкой истинного значения физической величины Z, определяемой как функция случайных величин (аргументов), может служить ее значение , полученное после выполнения вычислительных операций со средними арифметическими значениями аргументов в соответствии с этой функцией, т.е.

. (3.8)

При этом в соотношениях (3.6) и (3.7) необходимо использовать оценки дисперсий , т.е. формулу (3.7) можно записать в виде

. (3.9)

Систематическая погрешность результата косвенного измерения определяется систематическими погрешностями результатов измере­ний аргументов. При измерениях последние стремятся исключить. Однако полностью это сделать не удается, всегда остаются неисключенные систематические погрешности, которые рассматриваются как реализации случайной величины, имеющей равномерное рас­пределение.

Доверительные границы неисключенной систематической по­грешности результата косвенного измерения θ _Р в слу­чае, если неисключенные систематические погрешности аргумен­тов заданы границами θ _j, вычисляют по формуле

, (3.10)

где k – поправочный коэффициент, определяемый принятой дове­рительной вероятностью Р и числом m составляющих θ _j. Его зна­чения приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1

Значение коэффициента k