Суммарная погрешность результата косвенных измерений

Значение θР /	Погрешность результата измерения ∆ Р
θ Р / < 0,8
0,8 £ θ Р / £ 8
θ Р / > 8	θ Р

Коэффициент k_P определяется по таблице 3.3.

Таблица 3.3

Зависимость k_P от отношения θ_Р/ при различной доверительной вероятности

θР/	0,5	0,75
k 0,95	0,81	0,77	0,74	0,71	0,73	0,76	0,78	0,79	0,80	0,81
k 0,99	0,87	0,85	0,82	0,80	0,81	0,82	0,83	0,83	0,84	0,85

Следует сделать еще одно замечание. При выводе соотношения (8.6) в разложении Тейлора были учтены только линейные члены ряда, поскольку члены начиная со второй производной содержат произведения погрешностей и, соответственно, являются малыми величинами более высокого порядка по сравнению с линейными членами. Однако такое приближение приводит к появлению смещения при оценке по формуле (3.8). Это смещение при отсутствии корреляции между погрешностями аргументов составляет

, (3.14)

Результат косвенного измерения при известных дисперсиях погрешностей измеряемых величин записывается в виде

при Р = …%, (3.15)

при оценках дисперсий

при Р = …%. (3.16)

Задание для курсовой работы.

Определение параметра Z = f (х ₁, х _2, х ₃) проводится с помощью прямых многократных измерений параметров х ₁, х _2, х ₃, для каждого из которых известны основные метрологические характеристики применяемых средств измерений – пределы измерений (ПИ) и класс точности (КТ).

Требуется:

‒ провести обработку результатов измерений;

‒ найти суммар­ную погрешность косвенного измерения параметра Z измерения c доверительной вероятностью Р = 95 %.

Рассмотрим методику решения задачи на примере.

Исходные данные сведем в таблицу 3.4.

Таблиц 3.4

Исходные данные

Измеряемый параметр	Пределы измерений	Класс точности	Вид функции
х 1	21,21; 21,22; 21,22; 21,23; 21,23	0 … 40	0,02
х 2	10,12; 10,11; 10,10; 10,13; 10,11	±25	0,01
х 3	12,05; 12,06; 12,06; 12,07; 12,08	±20	0,06
х 4	6,02; 6,018; 6,019; 6,02; 6,021	0 … 20	0,03

1. Определение оценки истинного значения искомого параметра. При ограниченном числе измерений (n ¹ ¥) оценкой истинного значения физической величины Z, определяемой как функция случайных величин (аргументов), может служить ее значение , полученное после выполнения вычислительных операций со средними арифметическими значениями аргументов в соответствии с этой функцией (3.8)

Средние арифметические значения параметров х_i определяем по формуле

; (3.17)

;

;

;

.

Оценка истинного значения с учетом вида ее функции

.

2. Определение оценки среднеквадратического отклонения искомого параметра. Оценку дисперсии результата косвенного измерения определяют по формуле

. (3.18)

где – оценка дисперсии результата измерения j -го аргумента; – частные погрешности косвенного измерения; r_ij – коэффициенты корреляции погрешностей всех испытаний j и i, кроме i = j;

В тех же случаях, когда исходные величины измеряют с по­мощью различных средств измерения в разное время, можно с полным правом ожидать, что результаты, если и будут коррелированны, то очень мало, и коэффициентом корреляции можно пренебречь, поэтому выражение (3.18) примет вид

. (3.19)

Оценку среднеквадратического отклонения результата измерения j -го аргумента определяем по формуле

; (3.20)

;

;

;

Вычислим частные производные и частные погрешности косвенных измерений по каждому параметру х_j

;

;

;

;

;

;

.

Таким образом, оценка СКО косвенного измерения параметра Z, рассчитанное по формуле (3.10), составляет

.

3. Определение доверительных границ случайной погрешности. Доверительную границу случайной погрешности результата косвенного измерения вычисляем по формуле (3.11). Эффективное число степеней свободы определяем по формуле (3.12).

Для удобства расчетов составим таблицу 3.5.

Таблица 3.5

Вспомогательные расчеты

Параметр
	0,139685	0,019512	0,000381	0,00374	1,39 ∙10-5	1,95 ∙ 10-10
	0,292232	0,085399	0,007293	0,0051	0,000026	6,76 ∙ 10-10
	0,244996	0,060023	0,003603	0,0051	0,000026	6,76 ∙ 10-10
	0,491001	0,241082	0,058121	0,00051	2,6 ∙ 10-7	6,76 ∙ 10-14

.

При таком числе степеней свободы для доверительной вероятности Р = 95 % интерполяцией данных по таблице 4 (приложение Б) находим t _0,95 = 2,44. Тогда доверительные границы случайной погрешности

.

4. Определение доверительных границ неисключенной систематической погрешности. Доверительные границы неисключенной систематической по­грешности результата косвенного измерения θ _Р в слу­чае, если неисключенные систематические погрешности аргумен­тов заданы границами θ _j, вычисляем по формуле (3.10).

В нашем случае неисключенные систематические погрешности аргументов определяются границами основной погрешности средств измерений.

Так как класс точности всех трех средств измерений указан в виде приведенной погрешности, то в абсолютной форме погрешность средств измерений определяем по формуле (1.1). Для нашего случая

;

;

;

.

Тогда по формуле (3.10) определим границы неисключенной систематические погрешности

5. Определение доверительных границ суммарной погрешности результата косвенного измерения. Суммарная погрешность ре­зультата кос­венного измерения оценивается на основе компо­зиции распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей. Формулы для ее расчета в зависимости от соотношения границ не­исключенной систематической составляющей и СКО случайной со­ставляющей погрешности приведены в таблице 3.2. Коэффициент k_P определяем по таблице 3.3.

Так как, в нашем случае, отношение θ _Р / = 0,0075/0,002029 = 3,7, то суммарная погрешность результата косвенных измерений будем определять по формуле

∆ = . (3.21)

Для вероятности Р = 95 % по таблице 3.3 k _0,95 = 0,75, тогда

.

6. Определение доверительных границ систематической погрешности результата косвенного измерения. Систематическую погрешность, возникающую при косвенных измерениях, при отсутствии корреляции между погрешностями аргументов определяем по формуле (3.14).

В нашем случае формула (3.14) имеет вид

,

поскольку вторые производные по остальным аргументам равны нулю. Тогда

.

Полученная величина значительно меньше пяти единиц разряда, следующего за последней значащей цифрой погрешности результата. Если эту погрешность учесть путем введения в итог измерения соответствующей поправки, то она все равно пропадает при округлении. Поэтому принимаем θ = 0.

Результат косвенного измерения при оценках в виде погрешностей измеряемых величин записываем в виде (3.15)

при Р = 95 %,

после округления

при Р = 95 %.