Модель дуополии по Бертрану.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда две фирмы A и B производят однородный продукт. Предположим, что A и B одновременно и независимо объявляют цены, соответственно и , по которым они готовы продавать свою продукцию. Тогда величина спроса на рынке для фирм A и B будет формироваться по следующему правилам соответственно:

и

Рассмотрим условия, при которых пара образует равновесие по Нэшу. Предположим равенство предельных затрат c фирм на выпуск продукции. Очевидно, что , , т.к. назначение цены ниже предельных затрат приведёт к отрицательной прибыли фирм.

С другой стороны, не может быть выше c. Рассмотрим это утверждение более подробно. Предположим для определённости, что , тогда если , то фирма B, сталкивающаяся в этом варианте в лучшем случае с половинным спросом, может «перехватить» весь спрос, назначив цену , . Если же , то фирма A, аналогично, может назначить цену , «перехватывая» весь спрос.

Таким образом, в равновесии по Бертрану (или в равновесии по Нэшу в дуополии по Бертрану) , и фирмы получают нулевую прибыль. Эту ситуацию называют парадоксом Бертрана.

Случай дифференцируемых продуктов. Фирмы A и B выбирают цены и одновременно и независимо. Предположим, что спрос, с которым сталкиваются фирмы, описывается для фирм A и B соответственно функциями:

, .

Стратегии фирм обозначим символами:

, .

Прибыли (выигрыши) фирм (игроков) могут быть определены в соответствии с функциями:

,

.

Если равновесная по Нэшу пара существует, то для её поиска фирмы решают следующие задачи:

, .

Решение задач запишем в виде:

.

Итак, оптимальные стратегии фирм A и B заключаются в выборе цен . В соответствии с определением равновесия Нэша, отклоняясь от данных уровней цен в единоличном порядке, фирмы могут лишь ухудшить своё положение, а именно, снизить свою прибыль.

50. Модель «проблемы общего»

Рассмотрим теоретико-игровую проблему, связанную с использованием некоторого общего ресурса. Данная проблема поставлена в следующей её интерпретации.

Пусть в игре участвуют K фермеров. Летом их козы пасутся на зелёном поле. Обозначим через – число коз у k -го фермера. Тогда численность всего стада будет составлять величину . Затраты на покупку и содержание козы равны величине c. Будем предполагать, что данная величина не зависит от количества коз в наличии у фермера. Стоимость одной козы определим как функцию .

Предполагая, что козе необходим определённый уровень пропитания для выживания, будем считать, что существует некоторое максимальное число коз, которое может прокормиться, . Тогда функция стоимости козы может быть описана следующим образом:

, если , но , если .

Весной одновременно и независимо фермеры выбирают, сколько заводить коз, т.е. определяют величину . Выигрыш k -го фермера определим с помощью функции .

Таким образом, если существует равновесная по Нэшу игровая ситуация , то величина должна максимизировать функцию в условиях существования оптимальной ситуации для других игроков .

Решив задачи оптимизации , для всех участвующих в игре фермеров, получим систему:

, , .

Решив эту систему, получим набор оптимальных по Нэшу стратегий игроков.