Метод исследования рассуждений посредством таблично построенной логики высказываний.

 

Логикавысказываний, построеннаятабличным способом, даетэффективнуюпроцедурудлявыявления законовлогики, атакжеметодпроверкиправильности рассуждении. Рассуждениесчитаетсяправильным, если междуегопосылкамиизаключениемимеетместо отношениелогическогоследования. Определяемпоследнее:

из посылок Г следует заключение В, если импликация, имеющая антецедентом конъюнкцию формул, соответствующих посылкам, а консеквентом — формулу, соответствующую заключению, является тождественноистинной.

Пустьданорассуждение: “ЕслиИвановявляется участникомэтогопреступления, тоонзналпотерпевшего.

Ивановнезналпотерпевшего, нозналегожену. ПотерпевшийзналИванова. Следовательно, Иванов являетсяучастникомэтогопреступления”. Дляопределения правильностирассуждениятребуется: во-первых, обозначитьразличнымисимволами

различныепростыевысказывания, входящиеврассуждение. Вприведенномрассуждениивстречаютсяследующие простыевысказывания: “Ивановявляетсяучастникомэтого преступления”, “Ивановзналпотерпевшего”, “Ивановзнал женупотерпевшего”. “ПотерпевшийзналИванова”.

Обозначимихсоответственносимволами p,q, r, s; во-вторых, перевестинаязыклогикивысказываний

посылкиизаключение. Переводомпосылокявляются формулы р É q, Ø q Ù r, s, апереводомзаключения — формула р (союз “но” соответствуетвданномслучаесоюзу

“и”); в-третьих, формулы, являющиесяпереводомпосылок,

последовательносоединитьзнакомконъюнкции. Получаем формулу:

((p É q) Ù (Ø q Ù r)) Ù s;

в-четвертых, кполученнойформулеприсоединить

справазнакомимпликацииформулу, являющуюся переводомзаключения. Получаемформулу:

((р É q) Ù (Ø q Ù r)) Ù s É р;

в-пятых, дляполученнойформулыпостроитьтаблицу

истинности.

Еслиформула, являющаясяпереводомрассужденияна языксимволов, оказываетсятождественно-истинной, то можносделатьвыводотом, чторассуждениеправильное, еслитождественно-ложной, торассуждениенеправильное. Можетоказаться, чтоформулаявляетсявыполнимой, ноне тождественно-истинной. Втомслучаенетоснований считать рассуждение правильным. Необходимопродолжить анализрассуждения, ноужесредствамиболеебогатого разделалогики — средствами логики предикатов.

Вернемсякрассматриваемомурассуждению. Построим таблицуистинностидляформулы, являющейсяпереводом этогорассуждениянаязыксимволов: ((р É q) Ù (Ø q Ù r)) Ù s É р и и и л л и л и л и и и и и и л л и л и л л и и и и и л л и л л л и и и и и и л л и л л л л и и и л л л и л и и л и и и и л л л и л и и л л и и и л л л и л л л л и и и и л л л и л л л л л и и л и и л л и л и л и и л л и и л л и л и л л и л л и и л л и л л л и и л л и и л л и л л л л и л л и л и и л и и и и л л л и л и и л и и л л и л л и л л и л л л л и и л л и л л и л л л л л и л.

Формулаявляетсявыполнимой, нонеобщезначимой. Следовательно, нетоснованийсчитатьрассматриваемое рассуждениеправильным.

Еслиформуласодержитмногопеременных, тов некоторыхслучаяхможнонестроитьтаблицу, апутем особых “ сокращающих ” рассуждений установить,является лионаобщезначимой, противоречивойилижевыполнимой, нонеобщезначимой.

Рассмотримпроанализированнуювышеформулу. Предположим, чтопринекоторомнаборезначений переменныхонапринимаетзначение “ л ”:

((p É q) Ù ( Ø q Ù r)) Ù s É p

Этовозможно, еслизначениеконсеквента — “ л ”, а антецедента — “ и ”, аследовательно, каждогочлена конъюнкции — “ и ”:

((p É q) Ù ( Ø q Ù r)) Ù s É p и и и л л

Посколькупеременной р ужеприписанозначение “ л ”, пишем “ л ” подпервымвхождением р вформулу:

((p É q) Ù ( Ø q Ù r)) Ù s É p л и и и л л

ПодформулаØ q Ù r имеетзначение “ и ”, если, итолько если, Ø q и r имеютзначение “ и ”:

((p É q) Ù ( Ø q Ù r)) Ù s É p л и и и и и л л

ПосколькуподформулаØ q имеетзначение “ и ”, под q пишем “ л ”:

 

((p É q) Ù ( Ø q Ù r)) Ù s É p л и и л и и и л л

 

Тогда

((p É q) Ù ( Ø q Ù r)) Ù s É p л и л и и л и и и и л л

Формулапринимаетзначения “ л ” призначениях “ л ”, “ л ”, “ и ”, “ и ” соответственнопеременных р, q, r и s.

Очевидно, чтопризначении “ и ” переменнойэта формулапринимаетзначение “ и ”. Формулапринимаеткак значение “ л ”, такизначение “ и ”, аследовательно, является выполнимой, нонеобщезначимой.

Рассмотримформулу:

 

((p É q) Ù (q É r)) Ù p É r

 

 

Чтобыдоказать, чтоформулаявляетсяобщезначимой, будемрассуждатьотпротивного. Предположим, чтоонане общезначима, т.е. принекоторомнаборезначений переменныхпринимаетзначение “ л ”. Этовозможно, еслиее антецедент, аследовательно, каждыйчленконъюнкции принимаетзначение “ и ”:

((p É q) Ù (q É r)) Ù p É r и и и и и л л

 

((p É q) Ù (q É r)) Ù p É r и и и и л и л и и л л

 

Приходимкпротиворечию, таккаквэтомслучае, чтобыантецедентимпликацииоставалсяистинным, первомувхождению переменной q следуетприписать значение “ и ”, авторому — “ л ”. Следовательно, формула являетсяобщезначимой.

 

Ещеодинспособустановленияотношениялогического следованиямеждусуждениями, атакжеидругих отношений, заключаетсявследующем: сужденияпереводятсянаязыклогикивысказываний; дляформул, соответствующихсуждениям, строятся

сравнимыетаблицыистинности; устанавливаютсявидыотношениймеждусуждениями

наосновеследующихопределений:

1) суждениясовместимыпоистинности, еслиитолько есливсравнимыхтаблицахестьстрока, вкоторойвсе формулыимеютзначение “истина”;

2) суждениясовместимыположности, еслиитолько есливсравнимыхтаблицахестьстрока, вкоторойвсе формулыимеютзначение “ложь”;

3) изсуждений А ₁, А ₂, ..., A _nследуетсуждение В, еслии толькоесливсравнимыхтаблицахнетстроки, вкоторойвсе формулы, соответствующиесуждениям А ₁, А ₂, ..., A _n, имеют значение “истина”, аформула, соответствующаясуждению В, имеетзначение “ложь”.

Остальныеотношенияявляютсяпроизводнымипоотношениюкназванным.

Пример: Пустьпереводамитрехсужденийявляются, соответственно, формулыØ r Ù р, p É q Ú r, q. Построим дляэтихформултаблицыистинноститакимобразом, чтобы этитаблицыможнобылосравнивать. Дляэтоговыпишем вначалевсепеременные, входящиевкакие-либоизэтих формул. Этопеременные р, q, r. Числостроктаблиц = 2³ = 8. Строимтаблицы:

 

 

 

 

Междупервымидвумясуждениямиипоследнимимеет местоотношениелогическогоследования. Этисуждения (всетри) совместимыпоистинности (см. строку 5) ине совместимыположности.

 

15.Фигуры силлогизмов.

Фигураминазываютсятипысиллогизмов, выделяемые наосновеспособоврасположениятерминоввпосылках:

 

 

I фигура II фигура III фигура IV фигура

 

Сначаланужновыделитьменьшийибольшийтерминыв заключении. Меньшийтермин (s), большийтермин (F). Посылка, вкоторуювходитменьшийтермин, называется меньшей. Посылка, вкоторуювходитбольшийтермин, называетсябольшей. Имеетсясреднийтермин. Правилатрехпервыхфигур.

 

Правила I фигуры:

1) большаяпосылкадолжнабытьобщимсуждением

(единичноесуждениеобычноотождествляетсясобщим);

2) меньшаяпосылкадолжнабытьутвердительным суждением.

 

Правила II фигуры:

1) большаяпосылкадолжнабытьобщимсуждением;

2) однаизпосылокдолжнабытьотрицательным суждением

 

Правила III фигуры: 1) меньшаяпосылкадолжнабытьутвердительным суждением;

2) заключениедолжнобытьчастнымсуждением.

 

Приисследованиисиллогизмовтакжеможно использоватькруговыесхемы. Графическийметод заключаетсявследующем. Выявляютсяипредставляются посредствомкруговыхсхемвсевозможныеотношения междутерминамиоднойпосылки, затем — второй, при которыхпосылкиистинны. Послеэтогосоответствующие схемысовмещаются ипроверяется, истиннолизаключение прикаждомсовмещениивыделенныхсхем. Еслида, то силлогизмправильный.

Дляустановлениянеправильностисиллогизма достаточнообнаружитьхотябыодноотношениемежду терминамисиллогизма, прикоторомпосылкиистинны, а заключениеложно.

Рассмотримсиллогизм:

Вседельфины — киты.

____Нио д нарыбанеявляетсякитом.

Ниоднарыбанеявляетсядельфином.

 

Егоструктура:

Все Р сутъ М.

Нио д ин S нес у ть М.

Ниодин S несуть Р.

 

Возможныеотношениямеждутерминамибольшей посылки, прикоторыхонаистинна:

 

Меньшаяпосылкаистинналишьприодномотношении междуеетерминами:

 

Возможныследующиесовмещениясхем:

P.M. S

М S

 

Силлогизмправильный.

Ещепример:

Всемарксисты — диалектики. Всеавторыэтойкниги — диалектики. Следовательно, всеавторыэтойкниги — марксисты.

Все Р суть М.

Структура: Все S с у ть М.

Все S суть Р.

Круговаясхема:

 

Умозаключениенеправильное.

Силлогизмыневсегдавысказываютсяполностью. Частооднаизпосылокилизаключениеопускаются. Такие рассужденияназываются энтимемами.

Дляпроверкиправильностиэнтимемынужно попытатьсявосстановитьпропущеннуючастьтаким образом, чтобыполучилсяправильныйсиллогизм. Если этогосделатьнельзя, тоэнтимемаявляетсянеправильной, еслиудается, топравильной.

Приисследованииэнтимемывпроцессеаргументации целесообразнопопытатьсяустановить, являетсяли восстановленнаяпосылкасиллогизмаистиннойили ложной. Еслионаоказываетсяистинной, тоаргументация корректная, впротивномслучае — некорректная.