Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей.

 

1) Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

Пример:

.

 

2) Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то и определитель матрицы умножится на это число .

Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель элементов любой строки или столбца.

Примеры: ;

 

3) При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется:

Пример:

; .

 

4) При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет свой знак на противоположный.

Пример:

; ; .

 

5) Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

Пример:

.

 

6) Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

Пример: Воспользуемся при вычислении свойствами 2) и 5) определителей:

 

7) Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0, т.е.

при i j.

Пример: Посчитать: = 0 для данной матрицы

.

=

.

 

8) Определитель матрицы не изменяется, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

Пример: Вычислить определитель матрицы С и матрицы С , полученной из матрицы С прибавлением ко второй строке матрицы С ее первой строки, умноженной на число -2:

Воспользуемся уже полученным результатом определителя матрицы С:

Преобразуем матрицу С согласно свойству:

 

.

Теперь вычислим определитель получившейся матрицы:

 

9) Сумма произведений произвольных чисел , ,…, на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равны определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа

 

10) Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей:

, где А и В – матрицы n-го порядка.

 

Пример: вычислить с помощью свойств определителя определитель матрицы В четвертого порядка

 

.

 

Решение:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1) Правило нахождения определителей второго порядка можно записать в виде формулы:

 

 

Вычислить определители 2-го порядка матриц:

 

а) ; б) ; в) ; г) .

 

2) Для вычисления определителей третьего порядка используют правило Сарруса или правило треугольников, которое проще запоминается в виде следующих схем:

(+) (главная диагональ)

(-) (другая диагональ)

 

Вычислить определители 3-го порядка матриц по правилу Сарруса:

 

а) ; б) ; в) ;

 

3) Для вычисления определителей 4-го и более высокого порядка используют правило вычисления определителя методом разложения по элементам строки или столбца (по теореме Лапласа): определитель равен сумме произведений всех элементов какого-либо столбца (или строки) на соответствующие им алгебраические дополнения. Обычно вычисление проводится по элементам 1-й строки.

Можно использовать теорему Лапласа и для вычисления определителей 3-го порядка, когда разложение по первой строке имеет вид:

Вычислить определители 4-го и 3-го порядков:

 

а) ; б) ; в) ;

 

г) ; д) ; е) .

 

 

Замечание: Для сокращения вычислений удобно определитель раскладывать по элементам той строки или столбца, где содержится наибольшее количество нулей.

В этом случае нужно находить алгебраическое дополнения к элементам, равным 0; если же строки или столбцы не содержат достаточного количества нулей, то удобно провести эквивалентные преобразования. Используют правило: если ко всем элементам строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца); умноженные на одно и то же число; то определитель не изменяется.

III. «РАНГ МАТРИЦЫ»

 

Для решения и исследования некоторых математических и прикладных задач большое значение имеет понятие ранга матрицы.

 

Рассмотрим матрицу А размера .

 

В матрице А размера вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k- го порядка, где (меньшего из т и п). Определители таких подматриц называются минорами k- го порядка матрицы А. Один элемент матрицы называют минором первого порядка.

Из матрицы А размером можно получить подматрицы 1-го, 2-го, 3-го порядков.

Пример: Выделим указанные подматрицы из данной матрицы и запишем их миноры.

Решение:

Некоторые подматрицы первого порядка А =

некоторые подматрицы второго порядка А =

некоторые подматрицы третьего порядка А = .

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Обозначение: rang A или r(A)

 

Из определения следует:

1) т.е., не превосходит меньшего из ее размеров;

2) тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю;

3) для квадратной матрицы п -го порядка тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная, т.е., ее определитель не равен нулю.

Пример: Вычислить , если

.

Решение: Начнем с перебора миноров третьего порядка.

Таким образом, согласно определения ранга матрицы, можем сделать вывод, что ранг данной матрицы равен 3, т.е., .

Замечание: В данном случае вычисление уже первого минора третьего порядка привело к искомому результату. В общем же случае определение ранга матрицы перебором миноров всех возможных порядков достаточно трудоемко.

Для упрощения решения этой задачи используются элементарные преобразования, сохраняющие ранг матрицы:

1) отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы;

2) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю;

3) изменение порядка строк (столбцов) матрицы;

4) прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;

5) транспонирование матрицы.

 

ТЕОРЕМА 1:Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.