ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг.

 

ТЕОРЕМА 2:Какую-либо ненулевую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к матрице ступенчатого вида.

 

 

Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид:

, где

 

Замечания: 1. Условие , т.е., количество строк не больше количества столбцов, всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.

2. Если в ступенчатой матрице количество строк равно количеству столбцов, то такую матрицу называют треугольной.

 

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен , т.к. имеется минор -го порядка, не равный нулю:

.

Таким образом, с помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга несложно, т.к., для этого достаточно посчитать количество строк матрицы ступенчатого вида.

Пример: Вычислить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований (выбранные строки или столбцы нумеруем с помощью римских цифр, выполняемые преобразования записываем напротив выбранных строк или столбцов)

Решение: Выполняем элементарные преобразования

 

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Проверить, что ранги указанных матриц равны 2, 3, 2, 1

 

соответственно:

 

2. С помощью элементарных преобразований вычислить ранг указанных матриц:

 

IV. «ОБРАТНАЯ МАТРИЦА».

Определение: Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении матрицы на матрицу как справа, так и слева, получается единичная матрица:

 

Замечание: Только квадратная матрица имеет обратную. Матрица, обратная данной, тоже квадратная.

 

Определения: 1. Если определитель матрицы ≠ 0, то матрица называется невырожденной или неособенной.

Если определитель матрицы =0, то матрица называется вырожденной или особенной.

2. Присоединенная матриц а , получается из матрицы , транспонированной по отношению к матрице , заменой элементов матрицы на их алгебраические дополнения.

 

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы):

Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда матрица невырожденная, т.е. . Ее элементы вычисляются по формуле: .

 

Алгоритм построения обратной матрицы 1. Вычислим определитель данной матрицы . Если , то для данной матрицы не существует обратной. 2. Если , строим матрицу , транспонированную по отношению к матрице , заменяя строки матрицы А ее столбцами. 3. Строим присоединенную матрицу , заменяя элементы матрицы их алгебраическими дополнениями по формуле 4. Вычисляем обратную матрицу по формуле 5. При необходимости проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения .

 

 

Пример: . Найти .

1. данная матрица имеет обратную.

2. .

3. ; ; ; ; ; ; ; ; . Получили присоединенную матрицу: .

4. .

 

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Найти матрицу, обратную данной:

 

1) ; 3) ; 5) ;

 

2) ; 4) ; 6) .

 

Проверить для матриц B и D правильность нахождения обратной матрицы (должны быть верными равенства: ).