Приведём решение методом координат.

Пусть сторона BC лежит на оси Ox, а сторона AD лежит на оси Oy. Найдем координаты вершин четырехугольника:

Пусть M — середина AB, и N — середина CD. По формуле нахождения координат середины отрезков, найдем координаты точек M и N: Определим длину отрезка MN через координаты его концов:

Пусть точки P и Q — середины диагоналей AC и BD. Аналогично получаем:

Тема самым, что Следовательно, искомая длина равна 1 метру.

Критерии проверки:

Источник: Тренировочные работы. Иркутск — 2013, вариант 2.

Задание 24 № 311717

10. Каждое ос­но­ва­ние и тра­пе­ции про­дол­же­но в обе стороны. Бис­сек­три­сы внешних углов и этой тра­пе­ции пересекаются в точке , бис­сек­три­сы внешних углов и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Най­ди­те периметр тра­пе­ции , если длина от­рез­ка равна 28.

Решение.

Углы и — од­но­сто­рон­ние при па­рал­лель­ных прямых и и се­ку­щей . Зна­чит их сумма равна 180°.

— бис­сек­три­са угла ; .

— бис­сек­три­са угла ; .

Тогда сумма углов и равна 90°, зна­чит треугольник — прямоугольный. Аналогично, тре­уголь­ник — прямоугольный. Точки и — точки пе­ре­се­че­ния биссектрис внеш­них углов тра­пе­ции , значит, и — рав­но­уда­ле­ны от па­рал­лель­ных прямых и . (Точка рав­но­уда­ле­на от сто­рон угла и , и рав­но­уда­ле­на от сто­рон угла и , т. к. лежит на бис­сек­три­сах соответствующих углов).

Таким образом, пря­мая па­рал­лель­на прямым и , и по тео­ре­ме Фалеса точки и , се­ре­ди­ны сторон и и — сред­няя линия тра­пе­ции (по определению).

Из пря­мо­уголь­но­го треугольника , ( — медиана, про­ве­ден­ная к гипотенузе). Из пря­мо­уголь­но­го треугольника , ( — медиана, про­ве­ден­ная к гипотенузе.

Значит, пе­ри­метр трапеции равен 56.

Ответ: 56.

Критерии проверки:

Источник: Пробный экзамен. Санкт-Петербург — 2013, вариант 1.

Задание 24 № 311712

11. Найдите пло­щадь выпуклого четырёхугольника с диа­го­на­ля­ми 8 и 5, если отрезки, со­еди­ня­ю­щие середины его про­ти­во­по­лож­ных сторон, равны.

Решение.

Пусть — дан­ный четырёхугольник, — се­ре­ди­на стороны — се­ре­ди­на стороны — се­ре­ди­на стороны — се­ре­ди­на стороны . Проведём диа­го­на­ли и и от­рез­ки и , по­сле­до­ва­тель­но соединяющие се­ре­ди­ны сторон четырёхугольника. Тогда, по свой­ству средней линии треугольника, от­рез­ки и па­рал­лель­ны диагонали и равны её половине, а от­рез­ки и па­рал­лель­ны диагонали и равны её половине. По­это­му — параллелограмм. А так как, по усло­вию задачи, его диа­го­на­ли и равны, то — прямоугольник, и угол — прямой. От­сю­да следует, что и угол между диа­го­на­ля­ми и тоже прямой, и, следовательно, пло­щадь четырёхугольника будет равна по­ло­ви­не произведения его диагоналей, то есть

 

Ответ: 20.

Критерии проверки:

Источник: Тренировочные работы. Иркутск — 2013, вариант 3.

Задание 24 № 128

12. В тра­пе­ции АВСD бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD равны, CH — высота, проведённая к боль­ше­му ос­но­ва­нию AD. Най­ди­те длину от­рез­ка HD, если сред­няя линия KM тра­пе­ции равна 16, а мень­шее ос­но­ва­ние BC равно 4.

Решение.

Так как AB = CD, то тра­пе­ция яв­ля­ет­ся равнобедренной. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BL из точки B на боль­шее ос­но­ва­ние AD. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABL и CHD равны по ги­по­те­ну­зе и при­ле­жа­ще­му остро­му углу, по­это­му AL = HD. Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме оснований:

 

 

Так как AL = HD, имеем: , значит,

 

Ответ: HD = 12.

Критерии проверки:

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1309.

Задание 24 № 339511

13.

В тре­уголь­ни­ке ABC от­ме­че­ны се­ре­ди­ны M и N сто­рон BC и AC соответственно. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CNM равна 57. Най­ди­те пло­щадь четырёхугольника ABMN.

Решение.

Поскольку — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка и Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и углы и равны как со­от­вет­ству­ю­щие углы при па­рал­лель­ных прямых, угол — общий, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны. От­ку­да ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия Пло­ща­ди по­доб­ных фигур со­от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та подобия, по­это­му Найдём пло­щадь четрыёхугольника

 

Ответ: 171.

Критерии проверки:

Задание 24 № 315116

14.

В тра­пе­ции АВСD бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD равны, CH — вы­со­та, про­ведённая к боль­ше­му ос­но­ва­нию AD. Най­ди­те длину от­рез­ка HD, если сред­няя линия KM тра­пе­ции равна 16, а мень­шее ос­но­ва­ние BC равно 4.

Решение.

В тра­пе­ции сред­няя линия равна по­лу­сум­ме оснований, по­это­му можем найти боль­шее ос­но­ва­ние зная и

 

 

Проведём в тра­пе­ции вто­рую вы­со­ту Тра­пе­ция равнобедренная, по­это­му Рас­смот­рим два треугольника: и , они прямоугольные, имеют рав­ные углы и равно следовательно, эти тре­уголь­ни­ки равны. Таким образом, равны от­рез­ки и

Также рас­смот­рим четырёхугольник , все углы в нём — прямые, следовательно, это прямоугольник, зна­чит,

Теперь найдём длину от­рез­ка

 

 

Ответ: 12.

Критерии проверки:

Ответ: 12

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 24 № 311860

15. Основания тра­пе­ции равны 16 и 34. Най­ди­те отрезок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей трапеции.

Решение.

Пусть в тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми BC = 16 и AD = 34. Обо­зна­чим се­ре­ди­ну диагонали AC через N, се­ре­ди­ну диа­го­на­ли BD через M, а се­ре­ди­ну сто­ро­ны CD через K.

Тогда NK — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ACD, MK — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BCD. Значит, точки N, M и K лежат на одной прямой, и NM = NK − MK = 9.

 

Ответ: 9.

Критерии проверки:

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 01.10.2013 ва­ри­ант МА90106.

Задание 24 № 316359

16. Биссектриса угла A па­рал­ле­ло­грам­ма пе­ре­се­ка­ет его сто­ро­ну в точке Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма если а

Решение.

Накрест ле­жа­щие углы и равны, — бис­сек­три­са угла следовательно,

 

 

Значит, тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный и

 

По фор­му­ле пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма находим

 

Ответ: 35.

Критерии проверки:

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 19.02.2014 ва­ри­ант МА90501.

Задание 24 № 333130

17. Биссектрисы углов A и B при бо­ко­вой сто­ро­не AB тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F. Най­ди­те AB, если AF = 24, BF = 10.

Решение.

Сумма углов, при­ле­жа­щих к бо­ко­вой сто­ро­не трапеции, равна 180°, значит,

 

 

Получаем, что тре­уголь­ник ABF пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом F. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим AB:

 

 

Ответ: 26.

Критерии проверки:

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 17.04.2014 ва­ри­ант МА90605

Задание 24 № 339403

18. Биссектрисы углов A и D па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке, ле­жа­щей на сто­ро­не BC. Най­ди­те AB, если BC = 34.

Решение.

По опре­де­ле­нию па­рал­ле­ло­грам­ма — се­ку­щая при па­рал­лель­ных прямых, следовательно, углы и равны как на­крест лежащие. По­сколь­ку тре­уголь­ник — равнобедренный, от­ку­да Аналогично, тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный и Сто­ро­ны и равны, как про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны параллелограмма, следовательно:

 

Ответ: 17.

Критерии проверки:

Задание 24 № 339709

19. Биссектрисы углов A и B па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Най­ди­те пло­щадь параллелограмма, если BC = 19, а рас­сто­я­ние от точки K до сто­ро­ны AB равно 7.

Решение.

Проведём через точку пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис высоту. Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и они прямоугольные, углы и равны, сто­ро­на — общая, следовательно, тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Аналогично, равны тре­уголь­ни­ки H и от­ку­да Найдём пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма как про­из­ве­де­ние ос­но­ва­ния на высоту:

 

 

Ответ: 266.

Критерии проверки:

Задание 24 № 339619

20. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, диа­го­на­ли ко­то­рой равны 15 и 7, а сред­няя линия равна 10.

Решение.

Пусть — длина сред­ней линии. Проведём вы­со­ту и проведём пря­мую па­рал­лель­ную Рас­смот­рим четырёхугольник следовательно, — параллелограмм, от­ку­да Рас­смот­рим тре­уголь­ник Пусть — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка Найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка по фор­му­ле Герона:

 

 

Выразим пло­щадь тре­уголь­ни­ка как про­из­ве­де­ние ос­но­ва­ния на вы­со­ту от­ку­да найдём

 

Площадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию высоты на по­лу­сум­му длин оснований:

 

Ответ: 42.

Критерии проверки:

Задание 24 № 351992

21. Найдите бо­ко­вую сто­ро­ну AB тра­пе­ции ABCD, если углы ABC и BCD равны со­от­вет­ствен­но 60° и 150°, а CD = 33.

Решение.

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Проведём вы­со­ты и В трапеции сумма смеж­ных углов при бо­ко­вой сто­ро­не равна 180°, по­это­му Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка найдём сто­ро­ну

 

Углы и равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Высоты и равны. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка найдём

 

 

Ответ:

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 24 № 352568

22. Биссектрисы углов A и B при бо­ко­вой сто­ро­не AB тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F. Най­ди­те AB, если AF = 20, BF = 15.

Решение.

Сумма углов, при­ле­жа­щих к бо­ко­вой сто­ро­не трапеции, равна 180°, значит,

 

 

Получаем, что тре­уголь­ник ABF пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом F. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим AB:

 

 

Ответ: 25.

Ответ: 25

Задание 24 № 353511

23. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, диа­го­на­ли ко­то­рой равны 16 и 12, а сред­няя линия равна 10.

 

Окружности

Задание 24 № 311650

1. В тре­уголь­ни­ке угол равен 72°, угол равен 63°, . Най­ди­те радиус опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка окружности.

Решение.

Угол тре­уголь­ни­ка равен = 180° − − = 45°.

Радиус опи­сан­ной окружности равен .

Ответ: 2.

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2013. Математика. Пробные варианты от ФИПИ (1 вар.)

Задание 24 № 340853

2. Окружность с цен­тром на сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC про­хо­дит через вер­ши­ну C и ка­са­ет­ся пря­мой AB в точке B. Най­ди­те диа­метр окружности, если AB = 15, AC = 25.

Решение.

Пусть DC = x. Тогда по свой­ству ка­са­тель­ной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, получаем:

 

от­ку­да

 

Ответ: 16.

Критерии проверки:

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 26.11.2014 ва­ри­ант МА90201.

Задание 24 № 340879

3. Окружность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся его сто­рон в точ­ках M, K и P. Най­ди­те углы тре­уголь­ни­ка ABC, если углы тре­уголь­ни­ка MKP равны 49°, 69° и 62°.

Решение.

Пусть

∠ BAC = α, ∠ ABC = β, ∠ ACB = γ;

∠ PKM = 49°, ∠ MPK = 69°, ∠ KMP = 62°.

 

По свой­ству ка­са­тель­ных AM = AP, BM = BK, CP = CK. Значит, тре­уголь­ни­ки AMP, BMK и CPK равнобедренные, от­ку­да получаем:

 

 

Значит, Ана­ло­гич­но получаем, что и

Решая си­сте­му от­но­си­тель­но α, β и γ, получаем, что углы тре­уголь­ни­ка ABC равны 82°, 42°, 56°.

 

Ответ: 82°, 42°, 56°.

Критерии проверки:

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 26.11.2014 ва­ри­ант МА90202.

Задание 24 № 339492

4. Окружность пе­ре­се­ка­ет стороны AB и AC тре­уголь­ни­ка ABC в точ­ках K и P со­от­вет­ствен­но и про­хо­дит через вер­ши­ны B и C. Най­ди­те длину от­рез­ка KP, если AK = 18, а сто­ро­на AC в 1,2 раза боль­ше стороны BC.