Геометрическая задача на доказательство

Треугольники

Четырехугольники

Окружность

 

Треугольники и их элементы

Задание 25 № 103

1. На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что от­рез­ки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что от­рез­ки BD и BE тоже равны. Докажите, что тре­уголь­ник АВС — равнобедренный.

Решение.

Так как по усло­вию то тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся равнобедренным. Пусть угол при ос­но­ва­нии этого тре­уголь­ни­ка равен x, тогда Тре­уголь­ни­ки и равны по двум сто­ро­нам и углу между ними, по­это­му и тре­уголь­ник —равнобедренный.

Критерии проверки:

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1305.

Задание 25 № 340341

2. Высоты AA ₁ и BB ₁ ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. Докажите, что углы AA ₁ B ₁ и ABB ₁ равны.

Решение.

Рассмотрим тре­уголь­ни­ки и они прямоугольные, углы и равны как вертикальные, следовательно, тре­уголь­ни­ки подобны, от­ку­да Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и углы и равны как вертикальные, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны, от­ку­да

 

См. также.

Аналогичное задание с тупоугольным треугольником: 340854.

Критерии проверки:

Задание 25 № 340854

3. В тре­уголь­ни­ке ABC с тупым углом ACB про­ве­де­ны вы­со­ты AA ₁ и BB ₁. Докажите, что тре­уголь­ни­ки A ₁ CB ₁ и ACB подобны.

Решение.

Поскольку угол ACB тупой, ос­но­ва­ния высот A ₁ и B ₁ будут ле­жать на про­дол­же­ни­ях сто­рон BC и AC соответственно. Диа­го­на­ли четырёхугольника AA ₁ B ₁ B пересекаются, по­это­му он выпуклый. По­сколь­ку ∠ AA ₁ B = ∠ AB ₁ B = 90°, каждый из прямоугольных треугольников AA ₁ B и AB ₁ B вписан в окружность с диаметром AB. Это означает, что все вершины четырёхугольника AA ₁ B ₁ B лежат на одной окружности. Тогда углы ∠ AB ₁ A ₁ и ∠ ABA ₁ равны как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу A ₁ A. Аналогично, ∠ BA ₁ B ₁ = ∠ BAB ₁. Значит, ука­зан­ные тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам.

 

Укажем общую теорему.

Основания двух высот треугольника (остроугольного или тупоугольного) и одна из его вершин образуют треугольник, подобный исходному; коэффициент подобия равен модулю косинуса их общего угла.

 

См. также.

Аналогичное задание с остроугольным треугольником: 340341.

Критерии проверки:

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 26.11.2014 ва­ри­ант МА90201.

Задание 25 № 340880

4. В вы­пук­лом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.

Решение.

Поскольку ABCD выпуклый и ∠ ABD = ∠ ACD, получаем, что около четырёхугольника ABCD можно опи­сать окружность. А тогда ∠ DAC = ∠ DBC как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу CD.

Критерии проверки:

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 26.11.2014 ва­ри­ант МА90202.

Задание 25 № 340906

5. Окружности с цен­тра­ми в точ­ках E и F пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках C и D, причём точки E и F лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой CD. Докажите, что CD ⊥ EF.

Решение.

Точка E рав­но­уда­ле­на от C и D, по­это­му она лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к от­рез­ку CD. То же можно ска­зать и о F. Зна­чит EF — се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к CD, то есть CD ⊥ EF.

Критерии проверки:

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 26.11.2014 ва­ри­ант МА90203.

Задание 25 № 341688

6. Высоты AA₁ и BB₁ ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. Докажите, что углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.

Решение.

Поскольку диа­го­на­ли че­ты­рех­уголь­ни­ка AB₁A₁B пересекаются, он яв­ля­ет­ся выпуклым, а так как , около него можно опи­сать окружность. Тогда углы AA₁B₁ и ABB₁ равны как вписанные, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу AB₁.

Критерии проверки:

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по математике 29.09.2015 ва­ри­ант МА90103.

Задание 25 № 129

7. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC точки M, N, K — се­ре­ди­ны сто­рон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что тре­уголь­ник MNK — равносторонний.

Решение.

Так как точки M, N, K - се­ре­ди­ны сто­рон и тре­уголь­ник ABC- равносторонний, то от­рез­ки AM, MB, BN, NC, KC, AK равны. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке все углы равны, таким образом, тре­уголь­ни­ки AMK, NMB, CNK равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Тогда MN=MK=KN, зна­чит тре­уголь­ник MNK- равносторонний.

Критерии проверки:

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1309.

Задание 25 № 311561

8. На стороне треугольника отмечены точки и так, что . Докажите, что если , то .

Решение.

Треугольник — равнобедренный, по­это­му . Значит, и тре­уголь­ни­ки и равны по пер­во­му при­зна­ку ра­вен­ства треугольников. Значит, .

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(1 вар)

Задание 25 № 311567

9. На медиане треугольника отмечена точка . Докажите, что если , то .

Решение.

Поскольку тре­уголь­ник — равнобедренный, получаем, что его ме­ди­а­на также яв­ля­ет­ся высотой. Значит, в тре­уголь­ни­ке от­ре­зок яв­ля­ет­ся вы­со­той и медианой. По­это­му тре­уголь­ник — равнобедренный, то есть .

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(5 вар)

Задание 25 № 311602

10. Докажите, что бис­сек­три­сы углов при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны.

Решение.

Имеем:

Докажем, что .

1) по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам:

а) — общая;

б) по свой­ству углов рав­но­бед­рен­но­го треугольника;

в) по опре­де­ле­нию бис­сек­три­сы и ра­вен­ству углов при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го треугольника.

2) как со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты рав­ных треугольников.

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа № 1 (1 вар)

Задание 25 № 311605

11. Два рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ка имеют общую вершину. Докажите, что от­ме­чен­ные на ри­сун­ке от­рез­ки и равны.

Решение.

Рассмотрим тре­уголь­ни­ки и .
В них и

60° .

 

Следовательно, эти тре­уголь­ни­ки равны по двум сто­ро­нам и углу между ними.
Поэтому как со­от­вет­ству­ю­щие сто­ро­ны рав­ных треугольников.

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа №2 (2 вар.)

Задание 25 № 311606

12. Два рав­ных пря­мо­уголь­ни­ка имеют общую вер­ши­ну (см. рис.). Докажите, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков и равны.

Решение.

Две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны двум сто­ро­нам другого: и . Рас­смот­рим углы между ними:

360° 180° .

 

Поэтому

.

 

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа №2 (3 вар.)

Задание 25 № 311665

13. Докажите, что у рав­ных тре­уголь­ни­ков и биссектрисы, проведённые из вер­ши­ны и , равны.

Решение.

Пусть и — бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ков и . В тре­уголь­ни­ках и со­от­вет­ствен­но равны сто­ро­ны и , а также углы и , и . Следовательно, тре­уголь­ни­ки равны по вто­ро­му при­зна­ку ра­вен­ства треугольников. Значит, , что и тре­бо­ва­лось доказать.

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа №2.(4 вар)

Задание 25 № 311669

14. В тре­уголь­ни­ке угол равен 36°, — биссектриса. Докажите, что тре­уголь­ник — равнобедренный.

Решение.

Треугольник равнобедренный, по­это­му = 72°. Значит, = 36°. Таким образом, углы и равны, по­это­му тре­уголь­ник — равнобедренный.

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2013. Математика. Пробные варианты от ФИПИ (1 вар.)

Задание 25 № 311773

15. В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C, центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC и точка пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка ABC лежат на одной окружности.

Решение.

Обозначим центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC через O, а точку пе­ре­се­че­ния высот через H. Тогда и Таким образом, точки A, C, O и H лежат на одной окружности.

Критерии проверки:

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 01.10.2013 ва­ри­ант МА90101.

Задание 25 № 311969

16. Окружность ка­са­ет­ся стороны AB тре­уголь­ни­ка ABC, у ко­то­ро­го ∠ C = 90°, и про­дол­же­ний его сто­рон AC и BC за точки A и B соответственно. Докажите, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен диа­мет­ру этой окружности.

Решение.

Пусть O — центр окружности, d — её диаметр, а M, N и K — точки ка­са­ния окруж­но­сти с пря­мы­ми AC, AB и BC соответственно. Ра­ди­ус OM пер­пен­ди­ку­ля­рен AC, а OK пер­пен­ди­ку­ля­рен BC. Следовательно, в четырёхугольнике OMCK имеем ∠ C = ∠ M = ∠ K = 90°, а значит, OMCK — прямоугольник. По­сколь­ку OM = OK, пря­мо­уголь­ник OMCK — квадрат. Следовательно,

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны: AM = AN, BN = BK и CM = CK. Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен

 

P = AB + BC + AC = AC + AN + BN + BC =

= AC + AM + BK + BC = MC + CK = 2 MC = d.

Критерии проверки:

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 19.11.2013 ва­ри­ант МА90202.

Задание 25 № 315062

17. На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что углы АDB и BEC равны (см. ри­су­нок). Ока­за­лось, что от­рез­ки AЕ и CD тоже равны. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС — рав­но­бед­рен­ный.

Решение.

Углы и равны, по­это­му тре­уголь­ник — равнобедренный, то есть

Углы и — развёрнутые, поэтому:

 

 

Рассмотрим тре­уголь­ни­ки и следовательно, эти тре­уголь­ни­ки равны, а значит, то есть тре­уголь­ник — равнобедренный.

Критерии проверки:

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 25 № 315085

18. На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что от­рез­ки AD и CE равны (см. ри­су­нок). Ока­за­лось, что углы АDB и BEC тоже равны. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС — рав­но­бед­рен­ный.

Решение.

Углы и — развёрнутые, поэтому:

 

 

Углы и равны, следовательно, треуголь­ник — равнобедренный, зна­чит

Рассмотрим тре­уголь­ни­ки и следовательно, эти тре­уголь­ни­ки равны, а значит, то есть тре­уголь­ник — равнобедренный.

Критерии проверки:

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 25 № 316244

19. В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC точки A, C, центр опи­сан­ной окруж­но­сти O и центр впи­сан­ной окруж­но­сти I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°.

Решение.

В тре­уголь­ни­ке ABC имеем , а

Таким образом, значит,

Критерии проверки:

Источник: Диагностическая работа 01.10.2013 Вариант МА90105

Задание 25 № 316334

20. В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C, центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC и центр впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC лежат на одной окружности.

Решение.

Обо­зна­чим центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC через O, а центр впи­сан­ной окруж­но­сти через I.

Тогда

 

 

Таким образом, точки A, C, O и I лежат на одной окружности.

Критерии проверки:

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 01.10.2013 ва­ри­ант МА90103.

Задание 25 № 333348

21. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно опи­сать окруж­ность и что про­дол­же­ния сто­рон AD и BC четырёхугольника пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Докажите, что тре­уголь­ни­ки KAB и KCD подобны.

Решение.

Поскольку четырёхугольник ABCD вписанный, сумма углов ABC и ADC равна 180°.

Следовательно,

 

∠ KDC =180° − ∠ ADC = ∠ ABC.

 

Получаем, что в тре­уголь­ни­ках KAB и KCD углы ABK и CDK равны, угол K общий, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны.

Критерии проверки:

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 26.11.2014 ва­ри­ант МА90702.

Задание 25 № 339384

22. До­ка­жи­те, что ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка делит его на два тре­уголь­ни­ка, пло­ща­ди ко­то­рых равны между собой.

Решение.

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Проведём ме­ди­а­ну и вы­со­ту Пло­щадь тре­уголь­ни­ка , пло­щадь тре­уголь­ни­ка От­рез­ки и равны, следовательно,

Критерии проверки:

Задание 25 № 340243

23. В тре­уголь­ни­ке ABC с тупым углом ACB про­ве­де­ны вы­со­ты AA ₁ и BB ₁. Докажите, что тре­уголь­ни­ки A ₁ CB ₁ и ACB подобны.

Решение.

Углы и равны как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сторонами. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и они прямоугольные, углы и равны, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны, от­ку­да Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и углы и равны как вертикальные, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны.

Критерии проверки:

Задание 25 № 349266

24. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно опи­сать окруж­ность и что про­дол­же­ния сто­рон AD и BC четырёхугольника пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Докажите, что тре­уголь­ни­ки KAB и KCD подобны.

Решение.

Поскольку четырёхугольник ABCD вписанный, сумма углов ABC и ADC равна 180°.

Следовательно,

 

∠ KDC =180° − ∠ ADC = ∠ ABC.

 

Получаем, что в тре­уголь­ни­ках KAB и KCD углы ABK и CDK равны, угол K общий, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны.

 

----------

Дублирует задание 333348

Задание 25 № 350829

25. В тре­уголь­ни­ке ABC с тупым углом BAC про­ве­де­ны вы­со­ты BB ₁ и CC ₁. Докажите, что тре­уголь­ни­ки AB ₁ C ₁ и ABC подобны.

Решение.

Углы и равны как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сторонами. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и они прямоугольные, углы и равны, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны, от­ку­да Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и углы и равны как вертикальные, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны.

Задание 25 № 353162

26. В остроугольном треугольнике проведены высоты и . Докажите, что углы и равны.