Моменты сопротивления сечений

Моментом сопротивления сечения называется геометрическая характеристика, величина которой определяется по формулам:

, , – осевые и полярный моменты сопротивления сечения соответственно,

где у _max, x _max, r _max – расстояние от наиболее удаленной точки сечения до соответствующей оси.

Определим моменты сопротивления простых сечений относительно центральных осей.

1. Прямоугольник:

,

2. Момент сопротивления треугольника относительно центральной оси, параллельной основанию (см. рис. 5.6):

 

3. Круг:

,

Пример расчета

Задача 1. Определить главные центральные моменты инерции и положение главных центральных осей инерции сечения (рис. 5.10).

 

 

Рис. 5.10. Схема составного сечения

 

Решение.

где А ₁ = 2×6 = 12 см² – площадь прямоугольника;

А ₂ = × 6 × 6 = 18 см² – площадь треугольника;

х_{с 1} = у_{с 1} = 0, х_{с 2} = 3 см, у_{с 2} = –1 см – расстояние от центра тяжести прямоугольника и треугольника до осей у_{с 1} и х_{с 1} соответственно.

1. Определяем моменты инерции составного сечения относительно центральных осей Х_с и У_с:

 

где J_{xcy c} = 0 – центробежный момент инерции прямоугольника относи-

тельно собственных осей;

J_{x 2 y 2} = – центробежный момент инерции прямоугольного

треугольника относительно собственных осей;

a ₁ = 0,6 см, b ₁ = –1,8 см, а ₂ = –0,4 см, b ₂ = 1,2 см – расстояния от собственных осей прямоугольника и треугольника до осей Х_с и У_с соответственно.

2. Определяем главные центральные моменты инерции составного сечения:

откуда

J_max = J_u = 92 + 41,6 = 133,6 см⁴;

J_min = J_n = 92 – 41,6 = 50,4 см⁴.

 

3. Определяем положение главных центральных осей:

; a = –36;

; a_u = 54.

Задача 2. Определить главные центральные моменты инерции сечения, изображенного на рис. 5.11.

 

 

Рис. 5.11. Схема составного сечения

 

Решение. 1. Определяем положение центра тяжести составного сечения относительно осей Х ₁и У ₁:

;

2. Определяем моменты инерции составного сечения относительно центральных осей:

 

Задача 3. Для составного сечения из швеллера № 14 и равнобокого уголка № 5 (рис. 5.12) требуется:

1) определить положение центра тяжести;

2) найти величину осевых и центробежных моментов инерции относительно центральных осей;

3) определить направление главных центральных осей;

4) найти величину моментов инерции относительно главных центральных осей.

 

 

Рис. 5.12. Схема составного сечения

из прокатных профилей

 

Решение. Из сортаментов значений размеров и геометрических характеристик сечений (прил. 1–4):

для двутавра № 14: h ₁ = 140 мм; b ₁ = 73 мм; d ₁ = 4,9 мм; A ₁ = = 17,4 см²; J_x = 572 см⁴; S_x = 46,8 см³; J_y = 41,9 см⁴;

для уголка № 5: b ₂ = 50 мм; d ₂ = 3 мм; A ₂ = 2,6 см²; J_x = 7,11 см⁴;
J_max = 11,3 см⁴; J_min = 2,95 см⁴; x _c = у_с = 1,33 см.

1. Определяем положения центра тяжести составного сечения относительно центральных осей Х ₁ и У ₁ двутавра.

Относительно них статические моменты двутавра равны нулю, поэтому:

2. Находим величину осевых и центробежных моментов инерции относительно центральных осей:

где а_i – расстояние между осями Х _с и Х_i;

b_i – расстояние между осями У _c и У_i.

Для двутавра:

Для уголка:

Находим осевые моменты относительно оси X_c:

для двутавра:

для уголка:

для всего сечения:

Осевые моменты инерции относительно оси У_c:

для двутавра:

для уголка:

для всего сечения:

Определяем центробежный момент инерции относительно осей X_c, Y_c:

для двутавра:

для уголка:

для всего сечения:

3. Определяем направление главных центральных осей:

Положительному углу соответствует поворот по часовой стрелке, поэтому оси UV следует повернуть против часовой стрелки на угол 12,33^° относительно осей X_c и Y_c.

4. Находим величину моментов инерции относительно главных центральных осей:

5.11. Задачи для самостоятельного решения

 

Задача 4. Определить главные центральные моменты инерции сечения (рис. 5.13).

Рис. 5.13. Схема составного сечения

 

Ответ: J _min = 3965 см⁴; J _max = 23827 см⁴.

Задача 5. Определить главные центральные моменты инерции сечений (рис. 5.14).

 

 

Рис. 5.14. Схемы составных сечений

 

Ответ: J _min = 11232 см⁴; J _max = 20304 см⁴.

Задача 6. Вычислить центробежный момент инерции неравнобокого уголка 100 × 63 × 8 относительно центральных осей, параллельных полкам (рис. 5.15).

 

Рис. 5.15. Схема неравнобокого уголка

 

Ответ: J_xy = –40,5 см⁴.

 

5.12. Контрольные вопросы

1. Что называется статическим моментом площади сечения относительно оси, в каких единицах он выражается?

2. Что такое осевой, центробежный и полярный моменты инерции? В каких единицах выражаются моменты инерции сечения?

3. Чему равен статический момент площади относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения?

4. Как определяются координаты центра тяжести простых (квадрат, прямоугольник, круг) и сложных сечений?

5. Чему равен осевой момент инерции прямоугольника относительно центральной оси, параллельной одной из его сторон?

6. Как изменяются осевые моменты инерции при параллельном переносе и повороте осей?

7. Какие оси называются главными осями инерции?

8. Какие оси называются главными центральными осями инерции?

9. Чему равен центробежный момент инерции относительно главных осей инерции?

10. В каких случаях можно без вычисления установить положение главных осей?

11. Как определить положение главных центральных осей инерции?

12. Сколько в сечении можно провести центральных и главных центральных осей инерции?

СДВИГ

Основные понятия о деформации сдвига.