Тема 4. Дифференциальное исчисление

ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ

Изучение этой темы следует начать с разбора решений задач, приводящих к понятию производной. Это позволит осмыслить и понять определение производной, условия ее существования, ее геометрический и механический смыслы. Особое внимание необходимо обратить на теоремы и правила, позволяющие упростить вычисление производных. Успешное применение производной при решении задач зависит от усвоения понятий возрастания и убывания функций, наибольших и наименьших значений функции, экстремумов функции, выпуклости и вогнутости кривой.

Вопросы программы для изучения и самопроверки

 

1. Производная функции, ее геометрический смысл.

2. Правила дифференцирования функций.

3. Производная сложной, неявно заданной и обратной функций.

4. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

5. Дифференциал функции.

6. Производные и дифференциалы высших порядков.

7. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.

8. Условия возрастания и убывания функций. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные признаки существо- вания экстремума.

9. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции.

10. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

11. Асимптоты кривых.

Задачи 81–100. Найти производные заданных функций.

81. а) ;	б) ;
в) .
82. а) ;	б) ;
в) .
83. а) ;	б) ;
в) .
84. а) ;	б) ;
в) .
85. а) ;	б) ;
в) .
86. а) ;	б) ;
в) .
87. а) ;	б) ;
в) .
88. а) ;	б) ;
в) .
89. а) ;	б) ;
в) .
90. а) ;	б) ;
в) .
91. а) ;	б) ;
в) .
92. а) ;	б) ;
в) .
93. а) ;	б) ;
в) .
94. а) ;	б) ;
в) .
95. а) ;	б) ;
в) .
96. а) ;	б) ;
в) .
97. а) ;	б) ;
в) .
98. а) ;	б) ;
в) .
99. а) ;	б) ;
в) .
100. а) ;	б) ;
в) .

Решение типовых примеров

 

При решении примеров рекомендуется использовать правила дифференцирования и таблицу производных.

 

 

Таблица производных

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Правила дифференцирования

 

Если С – постоянная величина и функции имеют производные, то:

1. .

2. а) .

б) .

3. .

4. .

5.

6. Производная сложной функции вычисляется по формуле .

П р и м е р ы. Найти производные заданных функций:

.

;

2. .

 

.

3. .

 

 

 

.

 

Задача 101–120. Провести полное исследование заданных функций и построить их графики.

101. .	102. .
103. .	104. .
105. .	106. .
107. .	108. .
109. .	110. .
111. .	112. .
113. .	114. .
115. .	116. .
117. .	118. .
119. .	120. .

Решение типового примера

П р и м е р. Исследовать функцию и пост -роить ее график.

1. Область определения функции: .

2. Так как функция является многочленом, следовательно она непрерывна.

3. Исследуем на четность и нечетность

. Функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Для определения интервалов монотонности и точек экстремума находим первую производную функции

; .

. Это критические точки. Результаты исследования знака производной и выводы сведем в таблицу:

		-4
	+		–		+
		mах		min

Представим в виде произведения . Определим знаки на каждом интервале: .

5. Для определения интервалов выпуклости и вогнутости, точек перегиба найдем вторую производную функции:

;

 

.

Исследуем поведение знака в окрестности точки .

 

		–1
	–		+
	выпукла		вогнута

Точка – точка перегиба.

6. Найдем несколько дополнительных точек графика функции

.

7. По результатам исследования строим график.

 

 

 

 

Рис. 1.