Установление истинности сложных высказываний

 

Таблица истинности – это таблица, устанавливающая соответствие между всеми возможными наборами логических переменных, входящих в логическую функцию и значениями функции.

Таблицы истинности применяются для:

· вычисления истинности сложных высказываний;

· установления эквивалентности высказываний;

· определения тождественно-истинных (тавтологий) и тождественно-ложных высказываний.

Примеры решения задач

Пример 1

Установить истинность высказывания · С.

Решение. В состав сложного высказывания входят 3 простых высказывания: А, В, С. В таблице заполняются колонки значениями (0, 1). Указываются все возможные ситуации. Простые высказывания от сложных отделяются двойной вертикальной чертой.

При составлении таблицы надо следить за тем, чтобы не перепутать порядок действий; заполняя столбцы, следует двигаться “изнутри наружу”, т. е. от элементарных формул к более и более сложным; столбец, заполняемый последним, содержит значения исходной формулы.

 

А	В	С		А+		· С
0	0	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	0	0
0	1	0	0	0	1	0
1	0	0	1	1	0	0
1	0	1	1	1	0	0
0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	0	1	0	0
1	1	1	0	1	0	0

 

Из таблицы видно, что данное высказывание истинно только в случае, когда А = 0, В = 1, С = 1. Во всех остальных случаях оно ложно.

Пример 2

 

Установить истинность высказывания.

Решение

А	В	С
0	0	0	1	0	0	1
0	0	1	1	1	1	0
0	1	0	0	0	0	1
0	1	1	0	0	0	1
1	0	0	1	0	1	0
1	0	1	1	1	1	0
1	1	0	0	0	1	0
1	1	1	0	0	1	0

Вывод. Высказывание  истинно, когда:

А) Aº0; Bº0; Cº0; Б) Aº0; Bº1; Cº0; В) Aº0; Bº1; Cº1.

Пример3

Установить истинность высказываний:

((X1®X2)®X3)Ù(X3«X1)

Решение.

			F1	F2	F3
X1	X2	X3	X1®X2	F1®X3	X3«X1	F2ÙF3
0	0	0	1	0	1	0
0	0	1	1	1	0	0
0	1	0	1	0	1	0
0	1	1	1	1	0	0
1	0	0	0	1	0	0
1	0	1	0	1	1	1
1	1	0	1	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1

Вывод. Высказывание ((X1®X2)®X3)Ù(X3«X1) истинно, когда:

1) X1º1; X2º0; X3º0; 2) X1º1; X2º1; X3º1

Пример 4

 

Установить истинность высказываний:

 ((X®Y)Ù(Y®Z))®(X®Z)

Решение.

			F1	F2	F3	F4
X	Y	Z	X®Y	Y®Z	F1ÙF2	X®Z	F3®F4
0	0	0	1	1	1	1	1
0	0	1	1	1	1	1	1
0	1	0	1	0	0	1	1
0	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	0	1	0	0	1
1	0	1	0	1	0	1	1
1	1	0	1	0	0	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1

Вывод. Высказывание ((X®Y)Ù(Y®Z))®(X®Z) истинно всегда.

Пример 5

Составьте таблицу истинности для логической функции

X = (А ↔ B) Ú (A → (B Ú C))

в которой столбец значений аргумента А представляет собой двоичную запись числа 27, столбец значений аргумента В – числа 77, столбец значений аргумента С – числа 120. Число в столбце записывается сверху вниз от старшего разряда к младшему. Переведите полученную двоичную запись значений функции X в десятичную систему счисления.

Решение

1) Запишем уравнение, используя более простые обозначения операций:

 

2) Это выражение с тремя переменными, поэтому в таблице истинности будет 2³= 8 строчек; следовательно, двоичная запись чисел, по которым строятся столбцы таблицы А, В и С, должна состоять из 8 цифр

А	В	С	X
0	0	0
0	1	1
0	0	1
1	0	1
1	1	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

3) Переведем числа 27, 77 и 120 в двоичную систему, сразу дополняя запись до 8 знаков нулями в начале чисел

27 = 00011011₂ 77 = 01001101₂ 120 = = 01111000₂

4) Составим таблицу истинности. Добавить в таблицу дополнительные столбцы для расчета промежуточных результатов (см. таблицу ниже)

5) Заполняем столбцы таблицы:

 

А	В	С					X
0	0	0	1	0	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1	0	1
1	0	1	0	1	1	0	0
1	1	1	1	1	1	0	1
0	1	0	0	1	1	0	0
1	0	0	0	0	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1

значение  равно 1 только в тех строчках, где А = В

значение равно 1 только в тех строчках, где В = 1 или С = 1

значение    равно  0 только в тех строчках,  где  А = 1  и В + С = 0

значение  – этоинверсия предыдущего столбца (0 заменяется на 1, а 1 – на 0)

результат Х (последний столбец) – это логическая сумма двух столбцов, выделенных фиолетовым фоном

6) чтобы получить ответ, выписываем биты из столбца Х сверху вниз: Х = 10101011₂

7) переводим это число в десятичную систему: 10101011₂ = 2⁷ + 2⁵ + 2³ + 2¹ + 2⁰ = 171

8) таким образом, правильный ответ – 171.