Лекция 3. Числовые последовательности.

Числовая последовательность.

Определение. Пусть N —множество натуральных чисел. Если каждому натуральному числу  по определенному правилу поставлено в соответствие некоторое число , то говорят, что определена числовая последовательность. Числа  при 𝑛 ∈ N, называют элементами, или членами последовательности. Для числовой последовательности будем так же использовать следующие обозначения:  или { }; .

Пример. Последовательности уже встречались в программе по математики в средней школе, например, бесконечная геометрическая прогрессия вида:

, является числовой последовательностью. Числовой последовательностью является и арифметическая прогрессия: , ,  – заданные числа из R.

Определение. Последовательности , , ,  называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей { } и { } (для частного , ).

Определение. Последовательность { } называется ограниченной, если существует такое число 𝑀>0, что для любого 𝑛 ∈ N выполняется неравенство .

Определение. Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий эту точку. -окрестностью точки 𝑥 = 𝑎 называется интервал (𝑎 − 𝜀; 𝑎 + 𝜀).

Геометрической смысл ограниченной последовательности состоит в том, что все члены последовательности находятся в некоторой окрестности (𝑀-окрестности) точки 𝑥 = 0 (рисунок 3.1).

__ - M _____ _______________ ___ 0 ______ __________ _______ M _

Рис.3.1

 

Определение. Последовательность { } называется неограниченной, если она не является ограниченной. Это значит что для любого 𝑀>0, каким бы большим оно ни было, найдется такое число 𝑛 ∈ N, для которого будет | | > 𝑀. На языке кванторов это определение будет выглядеть следующим образом: ∀𝑀 > 0 ∃ 𝑛 ∈ N: | | > 𝑀.

Например:

а) последовательность

ограничена, так как ∀ 𝑛 ∈ N верно, что | | =1/ n и, следовательно, .

б) последовательность . является неограниченной, так как, каково бы ни было число 𝑀 > 0, ∃  =  такое, что >𝑀.

Определение. Последовательность  называется постоянной, если ∃ 𝑎 ∈ R, что ∀ 𝑛 ∈ N  = 𝑎, то есть все элементы последовательности равны некоторому числу 𝑎.

Например, последовательность 1, 1,..., 1,... является постоянной. Здесь ∀ 𝑛 ∈ N имеет место равенство  = 1.

Предел последовательности

Изучение предела последовательности — основного понятия этого параграфа, начнем с наводящего примера. Рассмотрим последовательность ; или . Из последнего выражения видно, что с увеличением n числа  приближаются к значению a =1. Действительно, оценим степень близости элемента  к 1:  и с увеличением n расстояние между элементами последовательности и числом 1 неограниченно сокращается. В таком случае говорят, что число 1 является пределом последовательности { }.

Получив, на конкретном примере, представление о сути предельного перехода, мы готовы перейти к математически строгому определению предела.

Определение. Число 𝑎 называется пределом последовательности { }, если для всякого числа 𝜀 > 0, сколь малым оно бы ни было, существует номер ∈ N такой, что для всех 𝑛 >  имеет место неравенство | −𝑎|<𝜀. На языке кванторов это выглядит так: ∀ 𝜀 > 0 ∃  ∈ N: ∀ 𝑛 >  | −𝑎|<𝜀.

Для обозначения предела используется выражение .

Пример. Пусть дана последовательность . Доказать, что пределом последовательности является число a =1/2, используя определение предела.

Решение. Рассмотрим величину  Возьмем произвольное 𝜀 > 0 и запишем неравенство . Решая это неравенство, находим . Обозначим +1, тогда при  будет выполняться неравенство  ч.т.д.

Если последовательность имеет конечный предел, то говорят, что она сходится. В противном случае – расходится.

Бесконечно малые последовательности.

Если последовательность сходится и ее предел равен 0, то она называется бесконечно малой. Пользуясь определением предела, можно дать определение бесконечно малой последовательности на языке 𝜀.

Определение. Последовательность  называется бесконечно малой если ∀ 𝜀 > 0 ∃  ∈ N: ∀ 𝑛 >  | |<𝜀.

Свойства бесконечно малых последовательностей (БМП):

1. Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть БМП. [Доказательство]

2. Бесконечно малая последовательность является ограниченной. [Доказательство]

3. Произведение бесконечно малой последовательности и ограниченной последовательности есть БМП. [Доказательство]

4. Произведение нескольких БМП есть БМП. [Доказательство]

5. Если БМП { } имеет постоянное значение 𝑎, т.е. ∀ 𝑛 ∈ N верно, что , то 𝑎 = 0. [Доказательство]

Бесконечно большие последовательности (ББП).

Определение. Последовательность  называется бесконечно большой, если для любого числа А>0, каким бы большим оно ни было, найдется такой номер , что при  выполняется неравенство . При этом пишут .

Если окажется, что при любом А>0  такой, что  при , то пишут

Свойства бесконечно больших последовательностей.

1. ББП—неограниченная последовательность.

2. Произведение двух ББП есть ББП.

3. Сумма ББП и ограниченной последовательности есть ББП.

4. ББП не может являться постоянной последовательностью.

Замечание. Сумма двух ББП не обязательно является ББП. Например, последовательности  и  бесконечно большие. Однако, сумма + =0 бесконечно большой не является.

Последовательности БМП и ББП связаны между собой. На это указывает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 3.1. Если { } есть ББП и все ее члены отличны от нуля, то последовательность {1/ } есть БМП; и обратно, если { }—БМП, все члены которой отличны от нуля, то {1/ }—ББП.

Доказательство. Пусть { } есть ББП. Это значит, что для любого A >0 в том числе и для A =1/𝜀  такой, что при  выполняется неравенство . Из этого неравенства сразу следует, что  ч.т.д. Обратное утверждение доказывается аналогично.