Основные теоремы дифференциального исчисления. (Теоремы о среднем или Французские теоремы).

Рассматриваемые в этом пункте теоремы о среднем значении называют еще основными теоремами о дифференцируемых функциях.

Определение. Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) имеет в точке 𝑥₀ локальный максимум, если существует -окрестность этой точки (𝑥₀ − 𝛿; 𝑥₀ + 𝛿) такая, что ∀𝑥 ∈ (𝑥₀−𝛿;𝑥+𝛿): 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0).

Определение. Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) имеет в точке 𝑥₀ локальный минимум, если существует -окрестность - (𝑥₀ − 𝛿; 𝑥₀ + 𝛿) такая, что ∀𝑥 ∈ (𝑥₀ − 𝛿; 𝑥₀ + 𝛿): 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥₀).

Определение. Локальные максимумы и локальные минимумы функции называются локальными экстремумами.

Локальными называются свойства функции, которые имеют место в некоторой окрестности той или другой точки.

Теорема 11.2 (теорема Ферма-1601-1665 французский математик). Пусть функция 𝑓(x) определена на интервале (𝑎; 𝑏) и в некоторой точке 𝑥₀ ∈ (𝑎, 𝑏) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке 𝑥₀ существует производная, то она равна нулю, т.е. 𝑓′(𝑥₀) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что если в точке 𝑥₀ ∈ (𝑎, 𝑏) функция имеет локальный минимум или максимум, то касательная в этой точке к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) параллельна оси 𝑂𝑥, т.е. угол наклона касательной к оси 𝑂𝑥 равен нулю, и 𝑓′(𝑥0) = tg 0 = 0.

Доказательство. По условию теоремы в точке x = 𝑥₀  существует производная, но тогда можно записать, что . Если  и точка  – точка максимума, то  и, следовательно, из равенства для приращения функции вытекает, что производная . Если же , то, в рассматриваемом случае, опять . Поэтому . Из полученных соотношений для производной вытекает, что единственная возможность для производной быть равной нулю .

Теорема 11.3 (теорема Ролля -1652-1719 французский математик). Пусть функция 𝑓 непрерывна на отрезке [𝑎;𝑏], дифференцируема на интервале (𝑎; 𝑏) и на концах отрезка [𝑎; 𝑏] принимает равные значения, 𝑓(𝑎) =𝑓 (𝑏). Тогда существует точка 𝑐 ∈ (𝑎; 𝑏), в которой 𝑓′(𝑐) = 0.

Геометрически теорема Ролля означает, что  графика непрерывной на отрезке  и дифференцируемой внутри этого отрезка функции, принимающей на его концах равные значения, существует точка , в которой касательная параллельна оси .

 

Доказательство. Так как заданная функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Предположим сначала, что это происходит на концах отрезка, то есть f (a)= m = min f (x) и f (b)= M = max f (x). В такой ситуации из условий теоремы вытекает, что m = M, а это возможно только, когда функция постоянна и, следовательно, 𝑓′(𝑐) = 0,  Пусть теперь наибольшее или наименьшее значение достигается внутри интервала, но тогда по теореме Ферма существует , в которой 𝑓′(𝑐) = 0 ч.т.д.

Замечание к теореме Ролля. В условиях теоремы все три условия обязательны. Рассмотрим ряд примеров.

А). . Нарушено первое условие теоремы Ролля. .

Б). . Нарушено второе условие теоремы Ролля.  для .

С). . Нарушено третье условие теоремы Ролля. .

 

Теорема 11.4. (Лагранжа -1736-1813 французский математик). Пусть на отрезке  определена функция , причем:

1)  непрерывна на .

2) дифференцируема на .

Тогда существует точка  такая, что справедлива формула .

   

 

Установим геометрический смысл теоремы Лагранжа. Величина  является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки и  графика функции , а - угловой коэффициент касательной к графику в точке . Из теоремы Лагранжа следует, что существует такая точка , что касательная к графику в точке параллельна секущей . Таких точек может быть и несколько, но, по крайней мере, одна всегда существует.

Замечание к теореме Лагранжа. Равенство     (3)

называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию вида

.

Функция  удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, а значит, найдется точка  такая, что . Находим

 и следовательно, . Из последнего соотношения непосредственно следуют формулы (2) и (3). Теорема доказана.

Следствие 1 из теоремы Лагранжа. Для того чтобы непрерывная функция  была постоянной на отрезке [ a, b ], необходимо и достаточно равенства нулю ее производной в каждой точке интервала (a, b).

Доказательство. Необходимость. Пусть  в каждой точке отрезка [ a, b ], тогда из определения производной получаем, что .

Достаточность. Пусть теперь . Предположим, что  на (a, b), тогда  такие, что . Но по теореме Лагранжа можно записать . Отсюда получаем , так как по условию . Полученное противоречие и доказывает требуемое утверждение.

Следствие 2 из теоремы Лагранжа. Если функция  дифференцируема на интервале (а,в) и  на этом интервале, то она возрастает (убывает).

Доказательство. Предположим противное. Тогда найдутся точки  такие, что . Но по теореме Лагранжа из (3), находим

,

Следовательно . Полученное противоречие и доказывает возрастание (убывание) функции .

Теорема 11.5 (Коши- 1789-1857 французский математик). Пусть функция и  непрерывны на  и дифференцируемы на . Пусть . Тогда существует точка  такая, что справедлива формула

                                                            

Эта формула называется формулой Коши или обобщенной формулой конечных приращений.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию вида

. Заметим, что , так как в противном случае функция  удовлетворяла бы условиям теоремы Ролля и тогда, нашлась бы точка , в которой , что противоречит условию теоремы. Таким образом, функция  определена на [ a, b ] и удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Поэтому

. Последнее равенство и доказывает справедливость формулы (4). Теорема доказана.

 

Теорема 11.6. (Лопиталя 1661 – 1704 французский математик). Пусть функции и  дифференцируемы во всех точках некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Пусть и  во всех точках этой окрестности. Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел , то существует , причем

                    

Доказательство. Доопределим функции  и  в точке , положив . Рассмотрим отрезок . Заданные функции удовлетворяют всем условиям теоремы Коши. Поэтому

.      

Переходя в последнем равенстве к пределу при  и учитывая, что при этом , получаем требуемое выражение.  Если , то зафиксируем точку  из окрестности точки . Пусть . Рассмотрим отрезок . В этом отрезке функции  и  удовлетворяют теореме Коши. Поэтому

. Перепишем это равенство в следующем виде

 .

Переходя к пределу при  и учитывая, что при этом , получаем опять равенство необходимое равенство. Теорема доказана.

Эта теорема дает правило для раскрытия неопределенности вида , сводящее вычисление предела отношения двух функций к вычислению предела отношения их производных.

11.7. Формула Тейлора (Английский математик, 1685-1731 гг.)

Пусть функция  определена и (n +1) раз дифференцируема в окрестности некоторой точки a. Составим выражение

.

Обозначим . Тогда можно записать

 

Формула (10) называется формулой Тейлора, а функция  - остаточным членом в формуле Тейлора.

Используя теорему Коши нетрудно получить выражение для остаточного члена. Действительно, рассмотрим функции  и . Очевидно, что

 и

Применяя (n+1) раз теорему Коши на отрезке [ a, x ] для функций  и , находим

 или

 

Выражение для  принято называть остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа.

Формула Тейлора широко применяется для обоснования различных положений при исследовании функций.