Формулы вычисления интегрирующего множителя.

1. Интегрирующий множитель зависит от переменной x:μ=μ(x).

В этом случае мы имеем ∂μ∂y=0, поэтому уравнение для μ(x,y) можно записать в виде: 1μdμdx=1Q(∂P∂y−∂Q∂x). Правая часть этого уравнения должна быть только функцией от x. Функцию μ(x) можно найти, интегрируя последнее уравнение.

2. Интегрирующий множитель зависит от переменной y:μ=μ(y).

Аналогично, если ∂μ∂x=0, то мы получаем обыкновенное дифференциальное уравнение, определяющее интегрирующий множитель μ:1μdμdy = −1P(∂P∂y−∂Q∂x), где правая часть зависит только от y. Функция μ(y) находится интегрированием данного уравнения.

3. Интегрирующий множитель зависит от определенной комбинации переменных x и y:μ=μ(z(x,y)).

Новая функция z(x,y) может быть, например, типа: z=xy, z=xy, z=x2+y2, z=x+y, и так далее.

Здесь важно, что интегрирующий множитель μ(x,y) будет являться некоторой функцией одной переменной z:μ(x,y)=μ(z) и может быть найден из дифференциального уравнения: 1μdμdz=∂P∂y−∂Q∂xQ∂z∂x−P∂z∂y.Предполагается, что правая часть уравнения зависит только от z и знаменатель не равен нулю.

26. Определение уравнения Клеро.
Уравнение Клероимеет вид:
y=xy′+ψ(y′)

Уравнение Клеро отличается от уравнения Лагранжа только тем, что в нем коэффициент при равен

27. Решение уравнения Клеро.

Определение уравнения Лагранжа.

Уравнение Лагранжа

Дифференциальное уравнение вида y=xφ(y′)+ψ(y′)

Решение уравнения Лагранжа.

Полагая y′=p и дифференцируя по переменной x, получаем общее решение уравнения в параметрической форме: {x=f(p,C) y=f(p,C) φ(p)+ψ(p) при условии, что φ(p)−p≠0, где p − параметр.

30. Решение ОДУ 1-го порядка неразрешенных относительно производной. (параметрический метод)

Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной, имеет вид . (1)

Если это уравнение удается разрешить относительно , то получаем одно или несколько уравнений . Интегрируя эти, уже разрешенные относительно производной уравнения, найдем решения исходного уравнения (1).

Типы ОДУ 2-го порядка, которые допускают понижение порядка и применение при этом замены переменных.

Среди таких уравнений наиболее часто встречаются ОДУ , которые не содержат искомой функции и производных до k–1 порядка, и дифференциальные уравнения вида , которые не содержат независимого переменного.

Решение ОДУ 2-го порядка допускающих понижение порядка.

Это дифференциальное уравнение вида . Произведём замену переменной: введём новую функцию и тогда . Следовательно, и исходное уравнение превращается в уравнениие первого порядка

с искомой функцией .

Решая его, находим . Так как , то .

Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:

,

где и - произвольные константы интегрирования.

Решение ОДУ 2-го порядка, допускающих понижение порядка

Общий вид F(x, y, y’, y’’)= 0 или y’’= f(x, y, y’). Общее решение y = g(x, C1,C2) содержит две произвольные константы и обращает ДУ в верное тождество.