Определение системы ОДУ 1-го порядка

В общем виде систему из n дифференциальных уравнений 1-го порядка можно записать следующим образом:

где – неизвестные функции независимой переменной t, – некоторые заданные функции. Общее решение системы (2.1) содержит n произвольных констант, т.е. имеет вид:

При описании реальных задач с помощью систем дифференциальных уравнений конкретное решение, или частное решение системы находится из общего решения заданием некоторых начальных условий. Начальное условие записывается для каждой функции и для системы n уравнений 1-го порядка выглядит так:

Решения определяют в пространстве линию, которая называется интегральной линией системы (2.1).

Сформулируем теорему существования и единственности решения для систем дифференциальных уравнений.

Теорема Коши. Система дифференциальных уравнений 1-го порядка (2.1) вместе с начальными условиями (2.2) имеет единственное решение (т.е. из общего решения определяется единственный набор констант ), если функции и их частные производные по всем аргументам ограничены в окрестности этих начальных условий.

Естественно речь идет о решении в какой-то области переменных .

Решение системы дифференциальных уравнений можно рассматривать как вектор-функцию X, компонентами которого являются функции а набор функций – как вектор-функцию F, т.е.

Используя такие обозначения, можно кратко переписать исходную систему (2.1) и начальные условия (2.2) в так называемой векторной форме:

(2.1a)

(2.2a)

Одним из методов решения системы дифференциальных уравнений является сведение этой системы к одному уравнению более высокого порядка. Из уравнений (2.1), а также уравнений, полученных их дифференцированием, можно получить одно уравнение n -го порядка для любой из неизвестных функций Интегрируя его, находят неизвестную функцию Остальные неизвестные функции получаются из уравнений исходной системы и промежуточных уравнений, полученных при дифференцировании исходных

53) определение разрешенной системы ОДУ

 

60. Утверждение (теорема) об общем решении ЛОСДУ (связь с фундаментальной системой решений)

(4.1)

(4.2)

(4.3)

Определение.

Система из линейно независимых вектор-функций (4.2), которые являются решениями системы (4.1), называется фундаментальной системой решений системы (4.1). Тогда матрица (4.3), составленная из системы ФСР, называется фундаментальной матрицей.

Теорема 4.1

ФСР существуют.

Доказательство.

Рассмотрим систему (4.1) на некотором интервале и зафиксируем . Рассмотрим базис в , состоящий из функций .

- решение, соответствующее -той задаче Коши.

Определитель Вронского этих решений в т. :

(в силу линейной независимости векторов)

Воспользуемся свойством формулы Остроградского-Лиувилля, именно: раз , то .

Для того, чтобы решения были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы .

- линейно независимы, значит образуют фундаментальную систему решений.

Чтд

Теорема 4.2. Об общем решении однородной системы.

Пусть (4.2) – ФСР системы (4.1).

Тогда любое решение системы (4.1) можно представить в виде линейной комбинации

, (4.4)

где - произвольные константы.

С другой стороны, любая функция вида (4.4) является решением.

Доказательство.

Фиксируем . Пусть - произвольное решение системы (4.1).

Вычислим значения

Они ФСР, значит вектора линейно независимы, следовательно, образуют базис в пространстве . можно разложить по этому базису:

Рассмотрим функцию

с найденными .

, .

Воспользовавшись теоремой единственности, получаем .

справедливо всюду на .

Обратно.

По лемме 2.1 функция (4.4)

Чтд

Рассмотрим систему (4.2)

(4.5)

Теорема 4.3

Если непрерывно-дифференцируемые вектор-функции (4.2) удовлетворяют условию (4.5), то существует система (4.1) с ФСР (4.2).

Доказательство.

То, что (4.2) образует ФСР . Можем посчитать правую часть. Значит существует и единственна.

Чтд

Замечание 4.1

Вектор-функции (4.2) при удовлетворяют системе

Если разложить этот определитель по I столбцу, то получим систему (4.1)