Частотные характеристики фильтров

Комплексные частотные характеристики представляют собой функции частоты , полученные в результате подстановки  (где  - мнимая единица,  - шаг дискретизации по времени решетчатого сигнала) в передаточные функции (4) и (5):

                                                                                                           (6)

                                                              (7)

Модуль комплексной частотной характеристики , называемый амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) фильтра, определяет амплитуду выходного сигнала устойчивого фильтра в установившемся режиме при входном сигнале . Аргумент комплексной частотной характеристики , называемый фазочастотной характеристикой (ФЧХ) фильтра, определяет фазу выходного сигнала устойчивого фильтра при входном сигнале .

Для рекурсивных и нерекурсивных фильтров с вещественными коэффициентами справедливы следующие соотношения для АЧХ и ФЧХ:

                                       (8)

                                     (9)

                                              (10)

                                     (11)

В формулах (8) и (9) коэффициент

Кроме АЧХ и ФЧХ используют также еще одну частотную характеристику - групповое время замедления (ГВЗ):

                                                                            (12)

равное времени задержки в установившемся режиме выходного сигнала фильтра относительно входного сигнала .

Пример 5. Записать частотные характеристики РЦФ с передаточной функцией

Решение. В соответствии с зависимостями (8), (9) и (12) частотные характеристики этого фильтра равны

Пример 6. Записать частотные характеристики НЦФ с передаточной функцией

Решение. В соответствии с формулами (10), (11) и (12) имеем

Пример 7. Записать уравнение для выходного сигнала НЦФ (см. пример 6) в установившемся режиме при .

Решение. В соответствии с результатом предыдущего примера получаем

.

Частотные характеристики содержат все параметры ЦФ и представляют собой еще один способ их описания – описания в частотной области. При обработке с помощью ЦФ аналоговых сигналов с ограниченным частотным спектром в полосе , где  - максимальная (верхняя) частота спектра, величину шага дискретизации по времени выбирают из условия Котельникова  и характер частотных характеристик в диапазоне от нуля до  полностью определяет изменение спектра аналогового сигнала, получаемого после цифроаналогового преобразования выходного сигнала ЦФ.

Частотные характеристики обладают рядом полезных для практики свойств, которые непосредственно следуют из формул (8) - (12). Основными из них являются следующие.

1. Все частотные характеристики представляют собой периодические функции частоты  с периодом .

2. АЧХ и ГВЗ представляют собой четные функции частоты  и их графики симметричны относительно оси ординат, а ФЧХ является нечетной функцией  и ее график антисимметричен относительно этой оси.

Из указанных выше свойств следует, что требования к частотным характеристикам при постоянном  можно задавать только на интервале .

Чтобы упростить сопоставление частотных характеристик ЦФ с различными , применяют нормировку частоты. Существует два способа нормировки. При первом способе полагают нормированной частоту , тогда период частотных характеристик равен  и требования к ним задаются на интервале . При втором способе используют нормированную частоту . В этом случае период частотных характеристик равен единице и требования к ним задаются на интервале . Здесь используется преимущественно второй способ нормировки частоты. При этом изменяются аргументы в обозначении частотных характеристик . Изменяются и сами формулы частотных характеристик. Новые формулы в случае необходимости могут быть легко получены из зависимостей (6)-(12) подстановкой

Пример 8. Записать выражения для АЧХ и ФЧХ НЦФ при нормированной частоте .

Решение. Подставив в формулы (10) и (11) значения , после преобразований получим

                                                        (13)

              (14)