Импульсная характеристика фильтров

Импульсная характеристика ЦФ  представляет собой реакцию фильтра при нулевых начальных условиях на входное воздействие в виде единичного дискретного скачка:

Из этого определения и определений передаточной функции и комплексной частотной характеристики следует, что импульсная характеристика и передаточная функция связаны между собой обратным и прямым z -преобразованиями:

                                                                                 (15)

а импульсная характеристика и комплексная частотная характеристика - парой преобразований Фурье:

                                                       (16)

Для НЦФ из (15) следует важный вывод, что

                                                                              (17)

т.е. коэффициенты НЦФ являются отсчетами импульсной характеристики.

Пример 9. Определить  для РЦФ с .

Решение. Используя правила обратного z -преобразования, получим

Пример 10. Найти  для НЦФ с .

Решение. Учитывая (17), имеем , остальные значения  равны нулю.

В зависимости от характера импульсной характеристики (ИХ) цифровые фильтры принято делить на два класса: фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры) и фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры).

Отметим, что все практически реализуемые НЦФ являются КИХ-фильтрами, а почти все РЦФ (за исключением тех, у которых передаточная функция может быть преобразована к виду (5)) являются БИХ-фильтрами.

Зная ИХ , можно рассчитать при нулевых начальных условиях выходной сигнал ЦФ  по заданному входному сигналу . Аналитически связь  с  и  выражается уравнением линейной дискретной свертки последовательностей отсчетов  и , причем все три последовательности могут быть как конечными, так и бесконечными:

                      (18)

Пример.11. Вычислить значения отсчетов выходного сигнала для НЦФ с ИХ  при .

Решение. Непосредственно из (8.18) следует, что

 Устойчивость цифровых фильтров

Фильтр называют устойчивым, если при любых начальных условиях и любом ограниченном входном сигнале x (i) выходной сигнал y (i) также остается ограниченным, т.е. из условия  при всех i следует, что

                                                                                          (19)

причем В и С ‒ константы, не зависящие от i. Очевидно, что нерекурсивный фильтр всегда устойчив, так как его выходной сигнал является конечной суммой ограниченных величин. Для РЦФ априори утверждать о его устойчивости нельзя, устойчивость каж­дого конкретного РЦФ нужно проверять и она зависит от значений его коэффициентов.

Для практической проверки устойчивости РЦФ условие (8.19) неудобно. Обычно применяют два практических условия устойчивости, эквивалентные (19). Первый критерий устойчивости формулируется следующим образом: если передаточная функция фильтра представляет собой несократимую дробь, то для устойчивости фильтра необходимо и достаточно, чтобы ее полюсы (корни знаменателя передаточной функции) лежали внутри единичной окружности на z -плоскости. Математически этот критерий можно записать так:

                                                                (20)

где  ‒ i -й полюс .

Пример 12. Проверить устойчивость двух РЦФ с передаточными функциями  и .

Решение. Оба фильтра имеют по одному полюсу, причем у первого , а у второго . Следовательно, первый РЦФ устойчив, а второй - нет.

Неустойчивый фильтр неработоспособен в том случае, когда входной сигнал действует неограниченно долго, так как рано или поздно выходной сигнал перестает зависеть от входного. Однако он работоспособен и может использоваться в тех случаях, когда входной сигнал действует в течение ограниченного интервала времени. Например, алгоритм накопления суммы конечных величин может быть реализован с помощью рекурсивного фильтра с передаточной функцией  (цифровой интегратор). Такой фильтр имеет полюс  и в общем случае неустойчив. Однако он вполне работоспособен, если входной сигнал (набор суммируемых величин) действует при , после чего результат обнуляется (сбрасывается), т.е. восстанавливаются нулевые начальные условия.

Второй критерий устойчивости следует из определения (18) выходного сигнала через входной и импульсную характеристику фильтра и имеет следующую запись:

                                                                           (21)

где D - константа. Второй критерий менее удобен для проверки устойчивости ЦФ, чем первый.