Аксиоматика комплексных чисел.

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ

 

    Из курса математики средней школы известны такие понятия, как натуральные числа, целые числа, рациональные и иррациональные. Все перечисленные множества чисел являются подмножествами множества действительных чисел.

Рассмотрим алгебраическое уравнение второй степени . Оно равносильно уравнению .

Ясно, что последнее уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Для Возможности решения подобных уравнений необходимо дальнейшее расширение понятия «числа».

 

Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

Представим число  в виде

,

т.е. в виде суммы действительного числа  и чисто мнимого .

Определение. Форма записи

Называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Она позволяет производить операции сложения и умножения комплексных чисел по обычным правилам алгебры многочленов.

Примеры: 1) Вычислить , если , , .

Решение:

2) Найти произведение комплексного числа  на действительное число .

Решение: Действительное число  можно записать в виде , тогда по правилу умножения .

Определение. Комплексное число  называется комплексно сопряженным числу .

Ясно, что  и если , то .

Найдем произведение , т.е. произведение взаимносопряженных комплексных чисел есть всегда действительное число.

Из определения комплексно сочетательных чисел легко получить выражение , .

Операция вычитания и деления комплексных чисел определяются на основание определенных операций сложения и умножения.

Вычитании - действие обратное сложению.

Определение. Комплексное число  называется разностью  и , т.е.  , если, .  

Отсюда, если , , ,

то , ,

или , .

Итак, ,

т.е. вычитание комплексных чисел производится по правилу вычитания многочленов.

деление – действие, обратное умножению.

Определение. Комплексное число  называется частным от деления  на , т.е. , если . Для получения алгебраической формы записи результата деления умножим две части последнего равенства на

Теперь умножим обе части этого равенства на действительно число

получим, ,

т.е.

  .

Пример. Вычислить , если .

Решение:

 

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ

 

    Из курса математики средней школы известны такие понятия, как натуральные числа, целые числа, рациональные и иррациональные. Все перечисленные множества чисел являются подмножествами множества действительных чисел.

Рассмотрим алгебраическое уравнение второй степени . Оно равносильно уравнению .

Ясно, что последнее уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Для Возможности решения подобных уравнений необходимо дальнейшее расширение понятия «числа».

 

Аксиоматика комплексных чисел.

Комплексное число  характеризуется упорядоченной парой действительных чисел . Это условие записывается  Числа  называются компонентами. Первая компонента x называется действительной частью комплексного числа  и обозначается , вторая – мнимой частью комплексного числа  и обозначается .

По определению полагают комплексное число .

Определение. Два комплексные числа  и  равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. .

В частности .

Замечание. Отношение «больше», «меньше» для комплексных чисел не определены. Действия сложения и умножения комплексных чисел определяется аксиоматически.

Определение. Суммой комплексных чисел  и  называется комплексное число , где ,  т.е. , иначе говоря, сложение комплексных чисел выполняется покомпонентно.

Из определения ясно (проверить самостоятельно), что для операции сложения комплексных чисел сохраняются законы сложения, имеющие место для действительных чисел, а именно –

а) переместительный (коммутативности)

б) сочетательный (ассоциативности)

Так же как и для действительных чисел верно равенство . Очевидно (доказать самостоятельно), что существует единственное комплексное число , обладающее этим свойством.

Пример: Найти сумму двух чисел  и .

Решение: .

Определение. Произведением комплексных чисел  и

 называется комплексное число

.

Умножение подчиняется законам (убедиться самостоятельно):

а) переместительному (коммутативности)

б) сочетательному (ассоциативности)

в) распределительному (дистрибутивности) относительно суммы

.

Пусть , . Найдем  и . По определению операций сложения и умножения комплексных чисел

.

Таким образом операции сложения и умножения комплексных чисел , , у которых мнимая часть равна нулю, сводится к операциям сложения и умножения действительных чисел  и . Это позволяет отождествить пару  с действительным числом  и ввести обозначение .  В частности .

Из сказанного следует, что множество всех действительных чисел можно рассматривать как часть (или подмножество) множества комплексных чисел.

Найдем произведение комплексного числа  на действительную единицу.

,

то есть умножение на действительную единицу не меняет комплексного числа.

Рассмотрим комплексное число . В силу определения произведения комплексных чисел .

Определение. Комплексное число  называется мнимой единицей и обозначается символом , т.е. .

Из предыдущего рассмотрения получаем

.

Комплексное число вида  называется чисто мнимым. Покажем, что . Действительно, .