Извлечение корня из комплексного числа.

Определение. Корнем  – ой степени из комплексного числа  называется комплексное число , такое, что .

Пусть ,

.

Тогда .

Отсюда ,

, где .

или , , где .

т.е. , где . (при прочих  получим одно уже из выписанных значений корня).

Из полученной формулы ясно, что  имеет  различных значений, модули которых равны, а аргументы отличаются на углы, кратнее . Следовательно, соответствующие точки располагаются на окружности с центром в начале координат и радиусом  (рис.14).

Пусть  и  целые положительные числа. Тогда

    .

Теперь можно вычислить , если

    ,

    ,

                       .

Примеры:

1) Найти все значения

Решение: ,

    , ;

    , ;

    , ;

    , ;

    , .

    Все значения  лежат на окружности радиуса  на одинаковом угловом расстоянии  друг от друга (рис. 15).

2) Найти все значения .

Решение: ,

     , ;

    , ;

    ;

    , ;

    , ;

      , .

(рис. 16)

 

Показательная форма записи комплексного числа

    Наряду с уже введенными алгебраической и тригонометрической формами записи комплексного числа используется еще и, так называемая, показательная форма записи, которая получается из тригонометрической формы.

              .

Заменой выражения  с помощью формулы Эйлера

              ,

которую примем без доказательства. Тогда комплексное число можно представить в виде , где  – модуль комплексного числа ,  – его аргумент.

Такая форма записи комплексного числа называется показательной формой записи.

    Зная, как производятся действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, легко показать, что

               ,
               ,

               ,

               , .

Пример. Найти все значения  и записать результат в тригонометрической и показательной формах.

Решение: Запишем  в тригонометрической форме, для чего определим его модуль и аргумент

               ,

             

Итак,    

Найдем теперь

              , .

В нашем случае

               , .

Поэтому  , ;

               , ;

              , ;

Приведя аргумент  к главному значению, получим

             

                                 (рис. 17)

 

 

Задачи для самостоятельного решения

Задача № 11. Следующие комплексные числа представить в тригонометрической и показательной формах

    а)      б)       в)  ,

    г) ,         д)  ,       е)  .

Задача № 12. Вычислить

    а)  ,            б)  .

Задача № 13. Найти все значения корня

    а)  , б)  ,     в)  ,    д)  .

Результат записать в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

    В задачах №14-15 найти множество точек на плоскости комплексного переменного , которые определяются заданными условиями.

Задача № 14.  .

Задача № 15. (  – действительное,  ).

    В задачах № 16-19 указать какие линии определяются указанными уравнениями.

Задача № 16.  .

Задача № 17.  .

Задача № 18.  .

Задача № 19.  .

        

 

Нарисовать эти линии.

Ответы к задачам, предложенным для самостоятельного решения.

№ 1. Действительного решения нет.

№ 3.  , .

№ 6. Внутренность гиперболы .

№ 7. Внутренность окружности .

№ 8. Область, заключенная между окружностями

       и  .

№ 9. Гипербола .

№ 10. Окружность .

№ 12. а)  ;         б) .

№ 13.

а)  ;     

б)  ;   

в) , ;

г) .

№ 14. Часть плоскости, расположенная ниже прямой .

№ 15. Внутренность единичной окружности.

№ 16. Эллипс .

№ 17. Луч на оси  от  до .

№ 18 Гипербола

№ 19 Эллипс