Час) Уравнение Шредингера. Корпускулярно – волновой дуализм. Фотоны и микрочастицы. Волновая функция и ее статистическое истолкование. Квантование энергии и момента импульса.

Уравнение Шредингера. Положение частицы в пространстве в данный момент времени определяется в квантовой механике заданием волновой функции (пси – функции) Ψ (x,y,z). Вероятность того, что частица находится в элементе объёма (dV): Δw = |Ψ| dV, где |Ψ| - квадрат модуля Ψ – функции: |Ψ| = Ψ Ψ^*. Здесь Ψ^* - функция, комплексно  сопряженная  с  Ψ. Величина |Ψ| - плотность вероятности

                                                 |Ψ| =  = ρ

и задает вероятность пребывания частицы в данной точке пространства.

   Из определения Ψ – функции следует условие нормировки вероятностей:

dV = 1, - это тройной интеграл по координатам, т.е. по всему бесконечному пространству. Условие нормировки указывает на то, что пребывание частиц в пространстве является достоверным событием и его вероятность должна быть равна 1.

   Временным уравнением  Шредингера называется основное дифференциальное уравнение квантовой механики относительно волновой функции Ψ (x,y,z и t),оно имеет вид:

               i∙ћ  = - ΔΨ + U(x,y,z)Ψ, где

 Δ – оператор Лапласа, m – масса частицы, ћ =  ,  h – постоянная Планка, i =  , U (x,y,z) – потенциальная энергия частицы в силовом поле.

Если функция U не зависит от времени, т.е. U(x,y,z) и Ψ(x,y,z), то:

                    ΔΨ + 2/ћ (W – U) Ψ = 0, где W – энергия частицы.

В этом уравнении функции  Ψ, удовлетворяющие  уравнению при заданном виде  U = U (x,y,z), называются собственными функциями, и образуют набор определенных значений энергий  W, который называется энергетическим спектром частицы. Этот набор образует дискретный спектр. Аналогичным образом происходит квантование момента импульса частицы.

 

 

Лекция 12.

Физика атомов.

5.1 (2часа)Атомы водорода и щелочных металлов. Спин электрона. Магнитный момент атома. Эффект Зеемана.

 

Простейшим атомом является атом водорода, состоящий из одного протона в ядре и одного электрона, движущегося в кулоновском электрическом поле ядра. Водородоподобными ионами (изоэлектронными) являются ионы  He , Li , Be  и т.д., имеющие ядро с зарядом  Ze и один электрон. Излучение и поглощение света для водородоподобных атомов (и ионов) определяется формулой Бальмера:

     ν = z R( - ),        где Z – порядковый номер элемента в таблице Менделеева, n – главное квантовое число.

Энергия водородоподобного атома (иона) в состоянии с главным квантовым числом: W  = – . Энергией связи  электрона в атоме называется абсолютная величина W .

Наименьшее значение W₁, (при n = 1) соответствует основному или нормальному состоянию атома. Все другие значения энергии при n > 1 характеризуют возбужденное состояние атома. Время жизни в возбужденном состоянии ~10 с. В основном – неограниченно.

Правило квантования орбит: в стационарном состоянии атома электрон, движущийся по круговой орбите, имеет квантованные значения момента импульса:

                             L  = m υ r = k ћ,  где  (k = 1, 2, 3…), m – масса электрона

υ – его скорость, r – радиус k-й орбиты, ћ = . Целое  число длин волн         де Бройля для электрона, укладывающихся на длине круговой орбиты:

                               

k = .

 

    Решение стационарного уравнения Шредингера для электрона в центрально-симметричном кулоновском поле ядра приводит к следующим результатам:

а) момент импульса электрона в атоме квантуется по формуле

               L  =  ћ, где l – орбитальное квантовое число, изменяется: l = 0, 1, 2 … (n – 1), где n – главное квантовое число.

б) энергия W  квантуется: W  = – .

 В зависимости от значений орбитального квантового числа приняты следующие обозначения состояний электронов в атомах:

S – состояние при l = 0, p - состояние при l = 1, d - состояние при l = 2,

f - состояние при l = 3, и т.д.

Состояние с n = 1, т.е. S-электрона в атоме водорода является сферически симметричным. Волновая функция в зависимости от расстояния r электрона имеет вид:

Ψ = Ψ(r) = c e c – постоянная с = , а  - первый боровский радиус.

  

Момент импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция L  на направлении z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения, кратные ћ,

L  = h m , где m  - магнитное квантовое число, которое при заданном l

может принимать значения: m  = 0, 1, 2, …, ± l. Всего 2 l + 1 значений.

   Наличие квантового числа m  приводит в магнитном поле к расщеплению уровня с главным квантовым числом n на 2 l + 1 подуровней. В спектре атома должно наблюдаться расщепление спектральных линий. Это было обнаружено (1896) физиком П. Зееманом и получило название эффекта Зеемана.

  Расщепление спектральных линий в электрическом поле называется эффектом Штарка.

  Спин электрона. О. Штерн и В. Герлах (1922) проводят измерения магнитных моментов атомов. Они обнаружили, что узкий пучок атомов водорода, заведомо находящихся в  S – состоянии, в однородном магнитном поле расщепляется на два пучка. В последующем было установлено, что электрон обладает собственным неуничтожимым механическим моментом импульса (а значит и магнитным), не связанным с движением электрона в пространстве, – спином. Спиновый момент квантуется:

       L  =  ћ, s – спиновое квантовое число, равное s = , т.к. в опытах Штерна и Герлаха наблюдалось только две ориентации.

Проекция спина на направление внешнего магнитного поля выражается:

 L  = ћ m  , где m  - магнитное спиновое квантовое число,  m  = ± .

 

5.2 (1-2часа) Принцип Паули Периодическая система элементов Д.И.Менделеева. Взаимодействие атомов. Природа химической связи. Молекулы и кристаллы.

 

Простейшая формулировка принципа Паули (принцип исключения): в любом атоме не может быть двух электронов, находящихся в двух одинаковых стационарных состояниях, определяемых набором четырех квантовых чисел: главного n, орбитального l, магнитного m  и спинового m .

Принципу Паули, кроме электронов, подчиняются другие частицы, имеющие полуцелый спин. Значение квантовых чисел: главного n (n = 1,2,3,…),  орбитального l (l = 0,1,2,…, n-1), магнитного m  (m  = – l,…, –1, 0, +1, …, + l), магнитного спинового m (m  = + ,– ).

       В одном и том же атоме не может быть более одного электрона с одинаковым набором четыре квантовых чисел: z (n, l, m  ) = 2.

 Данному n соответствует n  различных состояний, отличающихся значением l и m , а m  принимает два значения, тогда  z(n) = 2n . Совокупность электронов с одинаковым числом  n называют электронной оболочкой. В каждой из оболочек электроны распределяются по подоболочкам, соответствующих данному l. Максимальное число электронов в подоболочке z (n, l ) = 2(2 l + 1).

       

  Принцип Паули позволяет объяснить Периодическую систему элементов Менделеева (1869) – фундаментального закона природы, являющегося основой современной химии, атомной и ядерной физики.

 

Современная теория периодической системы основывается на следующих положениях:

а). Порядковый номер z элемента равен общему числу электронов в атоме.

б). Состояние электронов в атоме определяется набором четырех квантовых чисел: n, l, m , m .

в). Заполнение электронами энергетических состояний в атоме должно происходить в соответствии с принципом Паули.

 

n	слой	Число электронов в состояниях					Максимальное число электронов
		s l  = 0	p l  = 1	d l  = 2	f l  = 3	g l  = 4
1 2 3 4 5	K L M N O	2 2 2 2 2	– 6 6 6 6	– – 10 10 10	– – – 14 14	– – – – 18	2 8 18 32 50

 

Распределение электронов по энергетическим состояниям должно удовлетворять принципу минимума потенциальной энергии: каждый следующий электрон должен занять возможное энергетическое состояние с наименьшей энергией.

Взаимодействие атомов приводит к образованию молекул. Атомы соединены химическими связями. Химические связи объясняются различными взаимодействиями внешних валентных электронов атомов. Образование молекул сопровождается выделением энергии. Эта энергия является мерой сил взаимодействия, обуславливающих соединение атомов в молекулах.

 

энергией диссоциации или энергией связи. Она равна работе, которую надо совершить, чтобы разъединить молекулы на составляющие ее атомы и развести их на бесконечное расстояние друг от друга (~ 10 диаметров атома).

   Ионными(гетерополярным) называются молекулы, образовавшиеся в результате превращения взаимодействующих атомов в противоположно заряженные и взаимно притягивающиеся ионы. Такой тип связи называется ионной. Типичными ионными молекулами являются молекулы щелочно-галоидных солей:  NaCl, CsJ (цезий-йод). Образовавшиеся ионы обладают устойчивой внешней восьмиэлектронной оболочкой (к атому металлоида).

                                                                                                                   

  Атомными (гомеополярными) называются молекулы, возникшие в результате взаимного притяжения нейтральных атомов. Такая химическая связь называется ковалентной связью. Ковалентная связь имеет свойство насыщения. Атом водорода связывается только с одним другим атомом, а атом углерода – не более чем с четырьмя другими атомами. При образовании молекулярных     связей спины электронов(например в Н ) антипараллельны.

  Кристаллы  - это твердые тела, обладающие кристаллической решеткой. Обладают анизотропией.

  Основные типы кристаллических твердых тел:

а) ионные кристаллы (NaCl и др. соли) – в узлах ионы

б) валентные (атомные) кристаллы (C, Ge, Te и др.) – узлах нейтральные атомы

в) молекулярные кристаллы (Ar, CH , парафин и др.) – связь между молекулами осуществляется силами Ван-дер-Ваальса

г) металлы (Na, Cu, Al, и др.) – образованы ионами, а электроны становятся свободными.

 

Лекция 13.

Атомное ядро.