Активные и реактивные элементы

 

Представление синусоидальных величин в виде   

Векторов

 

Действия с синусоидальными величинами, очевидно, намного сложнее, чем с постоянными. Для переменного тока используют свои специальные методы расчёта. Рассмотренные ниже методы расчёта предпола-гают, что все токи и напряжения имеют одну и ту же частоту ω. При различных частотах разных источников энергии эти методы работать не будут.

Одним из методов является представление токов и напряжений в виде векторов.

 

Пусть имеется ток - i(t) = I_msin (ω t+ ψ_i)

 

Представим его в виде радиус-вектора (рисунок 2.2)

i(t)

ω

I

ψi

t

Рисунок 2.2 - Представление синусоидального тока в виде вектора

 

Длина вектора равна амплитудному I _m или действу-ющему значению I. Угол, образуемый вектором с осью t, равен начальной фазе ψ_i. Угол отсчитывается как обычно в тригонометрии: от оси абсцисс против часовой стрелки. В данном примере ψ_i > 0.

Вектор вращается против часовой стрелки с угловой частотой ω.

 

Как известно, синус – проекция вращения вектора единичной длины на ось ординат при вращении его против часовой стрелки с частотой ω.

Аналогично и здесь: мгновенное значение i(t) – это проекция вращения вектора длиной I на ось ординат при вращении его против часовой стрелки с частотой ω.

Таким же образом можно представить несколько токов или напряжений. Суммой их будет вектор, равный сумме векторов (рисунок 2.3).

Пусть имеются два тока:

i₁(t) = I_m1sin (ω t+ψ₁)

i₂(t) = I_m2sin (ω t+ψ₂)

Представляем их в виде векторов I₁ и I₁. Суммой их является вектор I (рисунок 2.3)

i(t) = I_msin (ω t+ψ)

 

i(t)

I1

I

ψ

t

Рисунок 2.3 - Сложение двух синусоидальных токов

I2

Ψ1

Ψ2

Действуют все математические правила действий с векторами. Все вектора вращаются против часовой стрелки с частотой ω, взаимное их расположение при этом не меняется.

 

Если нет необходимости определять мгновенные значения, то один из векторов можно направить произвольно, главным является взаимное расположение векторов, сдвиг фаз между ними.

То же самое действует и в отношении напряжений. Аналогично можно использовать амплитудные или действующие значения.

 

Комплексные числа.

Символический метод расчёта

 

Другим методом расчёта является символический метод – представление векторов в виде комплексных чисел.

Комплексное число (назовём здесь его Z) имеет действительную и мнимую части. Назовём их R и X. Запись числа в алгебраической форме:  

Z = R+jX,

Где j = √-1– «мнимая единица». j² = -1. В математике также обозначается не j, а буквой i.

X

φ

R

Z

+j

Рисунок 2.4 - Представление комплексного числа

Комплексное число может быть представлено векто-ром (или точкой) на комплексной плоскости, где по оси ординат откладывается действительная часть, а по оси абсцисс – мнимая часть (рисунок 2.4).

 

Именно так в дальнейшем будут обозначаться сопротивления:

R – активное сопротивление;

X – реактивное сопротивление;

Z – полное сопротивление.

Далее эти понятия (R, X, Z) будут изучаться детально.

 

Существует также показательная форма записи комплексных чисел:

Z = ‌‌ Ze^jφ ‌

Перевод из одной формы в другую производится, используя формулы Эйлера:

e^jφ = cos φ + j sin φ

e^-jφ = cos φ - j sin φ

 

Ещё одна форма записи – тригонометрическая:

Z = Z cos φ + j Z sin φ

 

Формулы перевода из одной формы в другую имеют следующий вид:

φ = arctg X/R R = Z cos φ X = Z sin φ

‌‌

Z = R + jX

 

Аналогично в символической (комплексной) форме записывается ток и напряжение:

İ = I e^{jψ i}, Ú = U e^{jψ u}

 

Выражение для комплексов тока и напряжения обычно записываются через действующие значения, но могут быть также записаны и через амплитудные:

İ_m = I_me^{jψ i}, Ú _m = U_me^{jψ u}

 

Пояснения к обозначениям. Может возникать путаница при одинаковых обозначениях, например: I – «комплекс тока» и I – «действующее значение тока». То же касается Z и U. Поэтому для символического обозначения этих величин нужно использовать другое обозначение. Для функции времени – напряжения и тока – используется обозначение с точкой вверху.

Сопротивление Z не является функцией времени, поэтому обозначать его Ż ошибочно. Для сопротивления принято для комплекса обозначение с подчёркиванием снизу: Z.

Для операций сложения (вычитания) нужна запись комплекса в алгебраической форме, для умножения (деления) – в показательной. При выполнении расчётов вручную, часто приходится преобразовывать одну форму в другую, что является довольно громоздким и трудоёмким.