Расчёт цепей символическим методом

 

Многие понятия, необходимые для расчёта цепей символическим методом, уже рассмотрены выше. Все законы расчёта цепей постоянного тока (законы Кирхгофа, методы контурных токов и узловых напряжений и т. д.) применимы в цепях переменного тока для мгновенных значений.

При действии в цепи источников энергии одной частоты, мгновенные значения токов, напряжений и мощностей можно заменить комплексами.

Необходимо уточнить ещё некоторые моменты, связанные с источниками энергии и направлениями токов и напряжений. На приведенных выше рисунках стрелками были показаны направления токов и напряжений. Однако что понимать под направлением переменного тока, направление которого периодически меняется, а среднее значение равно нулю?

Изменение направления тока (напряжения) равно-сильно повороту его фазы ψ на угол π (180⁰).

 

sin (ψ± π) = - sin ψ

В комплексной форме: e^j180 = - e^j0 = - 1

 

То же касается источников ЭДС и тока. Например, пары источников ЭДС на рисунке 2.42 слева и справа идентичны.

Ė = Eej0

Ė = Eej30

Ė = Eej210= Ee-j150

Ė = Eej180

Рисунок 2.42 - Направление источников    ЭДС синусоидального тока. Источники слева и справа идентичны

 

Баланс мощностей в цепях переменного тока должен выполняться для всех её составляющих: для полной, активной и реактивной мощностей.

ΣS_ист= ΣS_пр

ΣP_ист= ΣP_пр

ΣP_ист= ΣP_пр

 

 

Для приёмников:

ΣS_пр = ΣI² Z

ΣP_пр = ΣI² R

ΣS_пр = ΣI² X

Для источников ЭДС: ΣS_ист= Σ Ė

 

Замечание для проверки правильности расчётов: все активные составляющие (R, G, P) должны быть положительны. Сдвиг фаз: -90⁰ < φ < +90⁰.

 

Примеры расчёта цепей переменного тока

 

Расчёт схем синусоидального тока не столько сложен для понимания, сколько трудоёмок. Рассмотрим сначала простой пример.

 

Задание 1.

U. В   12   6   0   -6

3  6  9   12                             t. мс

Рисунок 2.43 – Синусоидальный сигнал

Пусть задан синусоидальный сигнал напряжения, изображённый на рисунке 2.43.

Для изображённого сигнала определить:

1) амплитуду;

Амплитуда сигнала – максимальное отклонение от нуля – в данном случае U_m =12 В.

Несмотря на то, что это очевидно, студенты иногда отвечают, что амплитуда равна 24 В. На самом деле – 24В – это называется размах – разница между максимальным и минимальным значением сигнала.

2) действующее значение;

Для синусоидального сигнала действующее значе-ние меньше амплитуды в √2 раз, то есть:

3) период;

По графику видно – период составляет T=20 мс.

4) частоту;

5) угловую частоту;

ω=2πf = 2∙3,14∙50= 314 с^-1.

6) начальную фазу;

Считаем, что закон изменения напряжения – синус (а не косинус). При начальной фазе сигнала, равной нулю, в точке t=0, синус равен нулю и возрастает, то есть соответствует на данном графике точке t = 9 мс. Относительно этой точки сигнал задержан на половину периода, то есть 180⁰. Таким образом,

ψ_u = -180⁰

(или +180⁰, что то же самое).

7) Записать мгновенное значение напряжения;

U(t)=U_msin(ω t+ψ _u) = 12sin(314t-180⁰)В

8) Записать комплекс для действующего значения напряжения;

Как было сказано выше, обычно для расчётов используют не амплитудные, а действующие значения.

 (или )

Чтобы не усложнять запись значок градусов можно не писать – просто 180.

 

Задание 2.

Задана схема (рисунок 2.44) и её параметры.

R

C

R= 200 Ом С= 8 мкФ f = 200 Гц Ė = 20 ej30 В

E

Рисунок 2.44 – пример схемы RC для расчёта

 

Рассчитаем различные возможные параметры цепи.

 

1.Ёмкостное сопротивление:

Х_с =100 Ом.

 

2.Модуль полного сопротивления цепи:

 

 

 

3.Угол сдвига фаз

В электронике обычно угол не обозначают в ради-анах – чаще в градусах. Обратите внимание – реактивное сопротивления для конденсатора отрицательно, угол, естественно – тоже.

 

4. То же можно записать символическим методом – через комплексы, используя те же формулы:

 

Для дальнейшего сложения/вычитания нужно значе-ние в алгебраической форме, для умножения/деления – в показательной.

Перевод из одной формы в другую, требующий вычисления корня из суммы квадратов и арктангенса – процесс, занимающий определённое время. Очень удобно в этом случае пользоваться инженерным калькулятором, позволяющим преобразовывать декартовы координаты в полярные и наоборот. Это значительно экономит время.

5. Треугольник сопротивлений для данной схемы в примерном масштабе показан на рисунке 2.45.

Х= -XС= -100

φ= -26,60

R=200

Z=223,6

Рисунок 2.45 – Треугольник сопротивлений при последовательном соединении R и С

6.Определим ток в цепи.

Используем символический метод – это проще.

Закон Ома в комплексной форме: Ú = İ Z

В данном случае – вместо комплекса напряжения запишем комплекс ЭДС, указанный в условии задачи.

Ė= İ∙ Z

Действующее значение тока: I = 89,4 мА.

Начальная фаза тока: ψ_i = 56,6⁰

Амплитудное значение тока:

I_m=I ∙√2 = 89,4∙√2 = 126,5 мА.

 

7. Запишем формулу мгновенного значения тока:

i(t) = I_m sin (ωt + ψ_i)= 89,4 sin (314t + 56,6⁰) мА

8. Определим напряжение на резисторе.

Это несложно. Так как на активном сопротивлении ток всегда совпадает по фазе с напряжением, то нужно просто ток умножить на R.

Действующее значение: U_R=I∙ R = 0,0894∙200=17,88 В

U_R =17,88 В.

Амплитудное значение: U _mR=I _m∙ R = 0,1265∙200 В

U _mR =25,3 В.

Формула мгновенного значения:

u_R(t) = i(t)∙R = I_m R∙sin(ωt + ψ_i)= U_mR sin(ωt + ψ_i) В.

u_R(t) =25,3∙ sin(314 t + 56,6⁰ ) В.

 

9. Определим напряжение на конденсаторе.

Действующее значение: U_С=I∙Х_с =0,0894∙100=8,94 В

U_С =8,94 В.

Амплитудное значение: U _mС=I _m∙ Х_с = 0,1265∙100 В

U _mС =12,65 В.

Комплекс:

 – Этот момент часто неясен студентам, хотя это следует непосредственно из правил действий с комплексными числами – перевод из одной формы записи в другую.

Начальная фаза напряжения на конденсаторе:

ψ_uc = - 33,4⁰

Мгновенное значение:

u_С(t)= U_mС sin(ωt+ ψ_uc) В.

u_С(t)=12,65∙ sin(314 t -33,4⁰ ) В.

 

10. Построим векторную диаграмму напряжений и тока в цепи (рисунок 2.46).

На активном сопротивлении (резисторе) ток всегда совпадает с напряжением. На конденсаторе угол между током и напряжением всегда составляет 90⁰ (ток опережает напряжение).

Оцените точность рисунка – сравните углы тока и каждого напряжения с рассчитанными значениями в градусах.

UC

φ

UR

Е

Рисунок 2.46 - Векторные диаграммы напряжений и тока

I

11. Рассчитаем мощности элементов цепи.

Активная мощность:

P = I²R = 0,0894²∙200 = 1,6 Вт.

Реактивная мощность (в данном случае– ёмкостная):

Q = I²Х_С = 0,0894²∙100 = 0,8 ВАР.

Полная мощность:

 

Другой вариант расчёта – через мощность ЭДС – произведение комплекса ЭДС на комплексно-сопряжённый ток:

Откуда:

P = S cosφ = 1,79 cos(-26,6⁰) = 1,79∙0,894 = 1,6 Вт

Q = S sinφ = 1,79 sin(-26,6⁰) = -1,79∙0,448 = - 0,8 ВАР

Это, естественно, совпадает с предыдущим результатом.

 

Методические указания

К контрольной работе